人教版高中 A 版选择性必修第三册。教材：ChinaTextbook

一、计数原理

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法：完成一件事有 n 类不同方案，第 i 类有 mᵢ 种方法，则共有

N=m1+m2+⋯+mnN = m_1 + m_2 + \cdots + m_n

种不同的方法。

分步乘法：完成一件事需要 n 个步骤，第 i 步有 mᵢ 种方法，则共有

N=m1×m2×⋯×mnN = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n

种不同的方法。

1.2 排列与组合

排列数：从 n 个不同元素中取出 m 个，按一定顺序排成一列。

Anm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}

全排列：Aₙⁿ = n!，规定 0! = 1。

组合数：从 n 个不同元素中取出 m 个，组成一组（不计顺序）。

Cnm=Anmm!=n!m!(n−m)!C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}

性质：

  • Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ
  • Cₙ₊₁ᵐ = Cₙᵐ + Cₙᵐ⁻¹
  • Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ = 2ⁿ

1.3 二项式定理

(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+Cn2an−2b2+⋯+Cnnbn(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n

通项（第 k+1 项）：Tₖ₊₁ = Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏ。

性质：

  • 二项式系数对称：Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ
  • 中间项系数最大（n 偶时第 n/2+1 项，n 奇时中间两项）
  • 各二项式系数之和为 2ⁿ

二、随机变量及其分布

2.1 条件概率与全概率公式

条件概率：在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率

P(B∣A)=P(AB)P(A)(P(A)>0)P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \quad (P(A) > 0)

乘法公式：P(AB) = P(A)·P(B|A)。

全概率公式：若 {B₁, B₂, …, Bₙ} 为 Ω 的一个划分，则

P(A)=∑i=1nP(Bi)⋅P(A∣Bi)P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)

2.2 离散型随机变量及其分布列

随机变量 X：取值随试验结果而变的变量。

分布列：P(X = xᵢ) = pᵢ（i = 1, 2, …），满足 pᵢ ≥ 0，Σpᵢ = 1。

2.3 离散型随机变量的数字特征

期望（均值）：

E(X)=∑i=1nxipiE(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i

性质：E(aX + b) = aE(X) + b。

方差：

D(X)=∑i=1n(xi−E(X))2piD(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i

性质：D(aX + b) = a²D(X)。

标准差：σ(X) = √D(X)。

2.4 二项分布与超几何分布

二项分布：n 次独立重复试验，每次成功概率为 p，X 为成功次数。

P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,…,nP(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n

记作 X ~ B(n, p)。E(X) = np，D(X) = np(1−p)。

超几何分布：N 件产品中有 M 件次品，不放回抽取 n 件，X 为次品数。

P(X=k)=CMk⋅CN−Mn−kCNnP(X = k) = \frac{C_M^k \cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}

2.5 正态分布

若 X 的密度函数为

f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,x∈Rf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in \mathbb{R}

则称 X ~ N(μ, σ²)。μ 为均值，σ 为标准差。

3σ 原则：P(μ−σ < X < μ+σ) ≈ 0.6827，P(μ−2σ < X < μ+2σ) ≈ 0.9545，P(μ−3σ < X < μ+3σ) ≈ 0.9973。

标准正态分布 N(0, 1)：若 X ~ N(μ, σ²)，则 Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1)。

三、成对数据的统计分析

3.1 成对数据的统计相关性

散点图刻画两个变量的关系。

样本相关系数：

r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2⋅∑i=1n(yi−yˉ)2r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}
  • |r| ≤ 1
  • |r| 越接近 1，线性相关越强
  • r > 0 ⇔ 正相关，r < 0 ⇔ 负相关

3.2 一元线性回归模型及其应用

模型：y = bx + a + e，其中 e ~ N(0, σ²)。

最小二乘法求回归直线 ŷ = b̂x + â：

b^=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} a^=yˉ−b^xˉ\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}

决定系数 R²衡量拟合优度：

R2=1−∑(yi−y^i)2∑(yi−yˉ)2R^2 = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}

R² 越接近 1，拟合效果越好。

3.3 列联表与独立性检验

2×2 列联表：

变量 B₁ 变量 B₂ 合计
A₁ a b a+b
A₂ c d c+d
合计 a+c b+d n

卡方统计量：

χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

独立性检验（假设 H₀：两变量独立）：

  • 当 χ² ≥ x_α（临界值），拒绝 H₀（有显著关联）
  • 常用临界值：x₀.₀₅ ≈ 3.841，x₀.₀₁ ≈ 6.635