人教版初一上下册。教材：ChinaTextbook

一、有理数

1.1 正数和负数

定义：大于 0 的数是正数，小于 0 的数是负数。0 既不是正数也不是负数。

正数前面可以加”+”，负数前面加”−”。

1.2 有理数的分类

整数和分数统称有理数（rational number）。

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有理数：
  ├── 整数
  │     ├── 正整数（1, 2, 3, …）
  │     ├── 0
  │     └── 负整数（−1, −2, −3, …）
  └── 分数
        ├── 正分数
        └── 负分数

所有有理数都可以写成 p/q 的形式（p, q 为整数，q ≠ 0）。

1.3 数轴

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

  • 原点右侧的点表示正数，左侧表示负数
  • 数轴上两个点，右边的点表示的数总比左边的大

比较大小：正数 > 0 > 负数；两个负数，绝对值大的反而小。

1.4 相反数与绝对值

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。a 的相反数是 −a；0 的相反数是 0。

绝对值：数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 ∣a∣。

∣a∣={a,a>00,a=0−a,a<0 |a| = \begin{cases} a, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}
  • 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0
  • 绝对值是非负数：|a| ≥ 0

1.5 有理数的加减法

加法法则：

  1. 同号相加，取相同符号，绝对值相加：(+3)+(+5)=+8，(−3)+(−5)=−8
  2. 异号相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值：(+3)+(−5)=−2
  3. 互为相反数的两数相加得 0；一个数加 0 仍得这个数

加法运算律：交换律 a+b=b+a，结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a−b=a+(−b)

1.6 有理数的乘除法

乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数乘 0 得 0。

倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。a（a≠0）的倒数是 1/a。0 没有倒数。

除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。a÷b=a×(1/b)（b≠0）。

乘法运算律：交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac

1.7 有理数的乘方

乘方：n 个相同因数 a 相乘，记作 aⁿ。

  • a 叫底数，n 叫指数，aⁿ 叫幂
  • 正数的任何次幂都是正数
  • 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数
  • 0 的任何正整数次幂都是 0

科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10ⁿ 的形式（1≤∣a∣<10，n 为正整数）。

混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右；有括号先算括号。

二、整式的加减

2.1 单项式

定义：数或字母的积组成的式子叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。

  • 系数：单项式中的数字因数
  • 次数：所有字母的指数之和

例：100t（系数 100，次数 1）；a²h（系数 1，次数 3）；−n（系数 −1，次数 1）

2.2 多项式

定义：几个单项式的和叫多项式。每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项。

  • 次数：次数最高项的次数
  • 单项式和多项式统称整式

例：v−2.5（一次二项式）；x²+2x+18（二次三项式）

2.3 合并同类项

同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项。常数项也是同类项。

合并法则：系数相加，字母及指数不变。

例：3x²y+5x²y = (3+5)x²y = 8x²y

2.4 去括号法则

  • 括号前是”+”，去括号后各项符号不变：a+(b+c)=a+b+c
  • 括号前是”−”，去括号后各项都变号：a−(b+c)=a−b−c

三、一元一次方程

3.1 方程的概念

方程：含有未知数的等式。

一元一次方程：只含一个未知数（元），未知数次数为 1，等号两边都是整式。

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。

解方程：求方程的解的过程。

3.2 等式的性质

性质 内容
性质 1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等

即：若 a=b，则 a±c=b±c；ac=bc；a/c=b/c（c≠0）。

3.3 解一元一次方程的步骤

  1. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数
  2. 去括号：按去括号法则展开
  3. 移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项要变号）
  4. 合并同类项
  5. 系数化为 1：方程两边除以未知数的系数

3.4 列方程解应用题

  1. 审题找等量关系
  2. 设未知数
  3. 列方程
  4. 解方程
  5. 检验并作答

四、几何图形初步

4.1 基本图形

立体图形（几何体）：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。

平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等。

三视图：从正面、左面、上面三个方向看立体图形得到的平面图形。

展开图：将立体图形表面展开得到的平面图形。

4.2 直线、射线、线段

端点 延伸性 表示
直线 无 向两方无限延伸 直线 AB 或直线 l
射线 1 个 向一方无限延伸 射线 AB（A 为端点）
线段 2 个 不延伸 线段 AB 或线段 a

基本事实：

  • 两点确定一条直线
  • 两点之间，线段最短（两点间距离：连接两点的线段的长度）

线段中点：把一条线段分成相等两段的点。若 M 是 AB 中点，则 AM=MB=½AB。

4.3 角

定义：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点叫顶点，两条射线叫边。

度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。1°=60′，1′=60″。

角的分类：

类型 范围
锐角 0° < α < 90°
直角 α = 90°
钝角 90° < α < 180°
平角 α = 180°
周角 α = 360°

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等两角的射线。

4.4 余角和补角

互余：两角之和等于 90°。∠α+∠β=90°

互补：两角之和等于 180°。∠α+∠β=180°

性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。

附录：核心公式速查

知识点 公式/法则
绝对值 `
减法化加法 a−b = a+(−b)
除法化乘法 a÷b = a×(1/b)
乘方 aⁿ = a·a·…·a（n 个 a）
合并同类项 系数相加，字母不变
去括号 −(a+b) = −a−b
移项 从等号一边移到另一边要变号
中点 AM = MB = ½AB
互余 α+β = 90°
互补 α+β = 180°

人教版七年级下册。第五章~第十章。

五、相交线与平行线

5.1 相交线

对顶角：两条直线相交形成的相对的两个角。对顶角相等。

邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。邻补角互补（和为 180°）。

垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。交点叫垂足。

垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

5.2 平行线

定义：同一平面内不相交的两条直线。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行线的判定：

判定方法 条件
同位角相等 ∠1 = ∠2 → a ∥ b
内错角相等 ∠3 = ∠4 → a ∥ b
同旁内角互补 ∠5 + ∠6 = 180° → a ∥ b

平行线的性质：

性质 结论
两直线平行，同位角相等 a ∥ b → ∠1 = ∠2
两直线平行，内错角相等 a ∥ b → ∠3 = ∠4
两直线平行，同旁内角互补 a ∥ b → ∠5 + ∠6 = 180°

5.3 命题与证明

命题：判断一件事情的语句。由题设（已知条件）和结论组成。

真命题：正确的命题。假命题：错误的命题。

定理：经过推理证实的真命题。

六、实数

6.1 平方根

定义：若 x² = a，则 x 叫 a 的平方根（二次方根）。

  • 正数有两个平方根，互为相反数：±√a
  • 0 的平方根是 0
  • 负数没有平方根

算术平方根：正数 a 的正的平方根，记作 √a。0 的算术平方根是 0。

a≥0(a≥0) \sqrt{a} \geq 0 \quad (a \geq 0)

6.2 立方根

定义：若 x³ = a，则 x 叫 a 的立方根（三次方根），记作 ³√a。

  • 正数的立方根是正数
  • 负数的立方根是负数
  • 0 的立方根是 0

6.3 无理数与实数

无理数：无限不循环小数。如 √2、π。

实数：有理数和无理数统称实数。

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实数：
  ├── 有理数（整数 + 分数）
  └── 无理数（无限不循环小数）

实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应。

实数的运算：有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。

七、平面直角坐标系

7.1 坐标

平面直角坐标系：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平的叫 x 轴（横轴），竖直的叫 y 轴（纵轴）。

点的坐标：有序数对 (x, y) 表示平面内一个点的位置。

7.2 各象限点的特征

位置 坐标特征
第一象限 x > 0, y > 0
第二象限 x < 0, y > 0
第三象限 x < 0, y < 0
第四象限 x > 0, y < 0
x 轴上 y = 0
y 轴上 x = 0
原点 (0, 0)

7.3 坐标方法的应用

平移：点 (x, y) 向右平移 a → (x+a, y)；向左平移 a → (x−a, y)；向上平移 b → (x, y+b)；向下平移 b → (x, y−b)。

对称（拓展）：

  • 关于 x 轴对称：(x, y) → (x, −y)
  • 关于 y 轴对称：(x, y) → (−x, y)
  • 关于原点对称：(x, y) → (−x, −y)

八、二元一次方程组

8.1 基本概念

二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的方程。一般形式：ax + by = c。

二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起。

方程组的解：同时满足两个方程的 x, y 的值。

8.2 解法

代入消元法：

  1. 从一个方程解出一个未知数
  2. 代入另一个方程，化为一元一次方程
  3. 解一元一次方程，再回代求另一个未知数

加减消元法：

  1. 使两个方程中同一未知数的系数相等或相反
  2. 相加或相减消去一个未知数
  3. 解一元一次方程，再回代

8.3 应用

列二元一次方程组解应用题的步骤与一元一次方程相同：审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答。

九、不等式与不等式组

9.1 不等式

定义：用 “<”、”>”、”≤”、”≥” 表示大小关系的式子。

不等式的解：使不等式成立的未知数的值。

解集：一个不等式所有解的集合。

9.2 不等式的性质

性质 内容
性质 1 不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变
性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变
性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变

即：若 a > b，则 a+c > b+c；若 c > 0，则 ac > bc；若 c < 0，则 ac < bc。

9.3 一元一次不等式

解法步骤：

  1. 去分母
  2. 去括号
  3. 移项
  4. 合并同类项
  5. 系数化为 1（注意：若系数为负，不等号变向）

解集表示：用数轴表示——实心点表示包含（≥, ≤），空心圈表示不包含（>, <）。

9.4 一元一次不等式组

几个一元一次不等式合在一起。解集是各个不等式解集的公共部分。

口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。

十、数据的收集、整理与描述

10.1 统计调查

全面调查：对全体对象进行调查。

抽样调查：抽取一部分对象进行调查，根据样本估计总体。

  • 总体：要考察的全体对象
  • 个体：组成总体的每一个对象
  • 样本：被抽取的个体集合
  • 样本容量：样本中个体的数量

10.2 数据整理

频数：落在各小组内的数据个数。

频率：频数与数据总数的比值。

频数分布直方图：

  1. 计算最大值与最小值的差（极差）
  2. 决定组距和组数
  3. 列频数分布表
  4. 画频数分布直方图

附录：核心公式速查

知识点 公式/法则
对顶角 ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4
邻补角 ∠1 + ∠2 = 180°
平行线判定 同位角等 / 内错角等 / 同旁内角互补
算术平方根 √a ≥ 0 (a ≥ 0)
立方根 ³√a（任意实数 a）
象限符号 一(+,+) 二(−,+) 三(−,−) 四(+,−)
点的平移 (x+a, y) 右移；(x, y+b) 上移
代入消元 解出一个未知数 → 代入另一个方程
加减消元 系数对齐 → 相加/相减消除
不等式性质 3 乘/除负数，不等号变向
不等式组 同大取大，同小取小