人教版初二上下册。教材：ChinaTextbook

一、三角形

定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。

按边分类：

1
2
3
4
5
三角形
├── 三边都不相等的三角形
└── 等腰三角形
    ├── 底边和腰不相等的等腰三角形
    └── 等边三角形（三边都相等）

按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三边关系：

  • 两边之和大于第三边：a + b > c
  • 两边之差小于第三边：|a − b| < c

例：长为 10, 7, 5, 3 的四根木条，选哪三根能组成三角形？

10+7>5 ✓, 7+5>10 ✓, 10+5>7 ✓ → 10,7,5 可。10+5>3 ✓,但 5+3<10 ✗ → 不可。其余组合：7+5>3 ✓ → 7,5,3 可。共 2 种。

高、中线、角平分线：

  • 高：从顶点向对边作垂线，所得线段
  • 中线：连接顶点与对边中点，三条中线交于重心
  • 角平分线：平分一个内角的线段

内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。

外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

直角三角形的性质：

  • 两个锐角互余（∠A + ∠B = 90°）
  • 有两个角互余的三角形是直角三角形

例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=40°，求 ∠B。

∠B = 90° − 40° = 50°

多边形内角和：n 边形内角和 = (n − 2) × 180°

多边形外角和：任意多边形的外角和 = 360°（与边数无关）。

例：一个多边形的内角和等于 1260°，它是几边形？

(n − 2) × 180° = 1260° → n − 2 = 7 → n = 9（九边形）

二、全等三角形

定义：能够完全重合的两个三角形。记作 △ABC ≌ △DEF。

性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

判定方法：

判定 条件 说明
SSS 三边分别相等 边边边
SAS 两边及其夹角分别相等 边角边
ASA 两角及其夹边分别相等 角边角
AAS 两角及其中一角的对边分别相等 角角边
HL 斜边和一条直角边分别相等 仅直角三角形

角平分线的性质：

  • 角平分线上的点到角两边的距离相等
  • 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

三、轴对称

定义：一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合。

轴对称 vs 轴对称图形：

  • 轴对称：两个图形之间的关系
  • 轴对称图形：一个图形自身的性质

垂直平分线：

  • 线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等
  • 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

等腰三角形：

  • 定义：有两条边相等的三角形
  • 性质 1：等边对等角（两底角相等）
  • 性质 2：三线合一——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
  • 判定：等角对等边

例：等腰三角形顶角为 80°，求底角度数。

底角 = (180° − 80°) ÷ 2 = 50°

等边三角形：

  • 三边相等，三个角都等于 60°
  • 每条边上的中线、高、角平分线三线合一
  • 判定：三个角都相等的三角形 / 有一个角是 60° 的等腰三角形

坐标系中的对称：

  • 关于 x 轴对称：(x, y) → (x, −y)
  • 关于 y 轴对称：(x, y) → (−x, y)

四、整式的乘法与因式分解

幂的运算

法则 公式 文字表述
同底数幂相乘 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 底数不变，指数相加
幂的乘方 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ 底数不变，指数相乘
积的乘方 (ab)ⁿ = aⁿbⁿ 各因式分别乘方

乘法公式

平方差公式：

(a + b)(a − b) = a² − b²

例：(x + 3)(x − 3) = x² − 9

完全平方公式：

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²

例：(2x + 1)² = 4x² + 4x + 1

整式乘法

  • 单项式 × 单项式：系数相乘，同底数幂相乘
  • 单项式 × 多项式：用单项式去乘多项式的每一项
  • 多项式 × 多项式：(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn

整式除法

  • 单项式 ÷ 单项式：系数相除，同底数幂相除
  • 多项式 ÷ 单项式：每一项分别除以单项式

因式分解

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式。

方法一：提公因式法

ma + mb + mc = m(a + b + c)

例：3x²y − 6xy² = 3xy(x − 2y)

方法二：公式法

a² − b² = (a + b)(a − b)
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²

例：x² − 4 = (x + 2)(x − 2)；x² + 6x + 9 = (x + 3)²

方法三：十字相乘法

x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

例：x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

五、分式

定义：形如 A/B（B 中含有字母，B ≠ 0）的式子。

基本性质：

  • A/B = A·C / B·C（C ≠ 0）
  • A/B = A÷C / B÷C（C ≠ 0）

约分：分子分母同时除以公因式 → 最简分式。

通分：将异分母分式化为同分母分式（取最简公分母）。

乘除法则：

  • A/B · C/D = AC/BD
  • A/B ÷ C/D = A/B · D/C = AD/BC

加减法则：

  • 同分母：A/C ± B/C = (A ± B) / C
  • 异分母：先通分，再加减

分式方程：分母中含有未知数的方程。

  • 解法：去分母 → 解整式方程 → 验根（舍去使分母为 0 的根）

例：解 1/x + 2/(x−1) = 0

去分母：(x−1) + 2x = 0 → 3x − 1 = 0 → x = 1/3
检验：x=1/3 时分母均不为 0，是原方程的根。

一、二次根式

定义：形如 √a（a ≥ 0）的式子。a 叫做被开方数。

性质：

性质 公式 条件
非负性 √a ≥ 0 a ≥ 0
平方性质 (√a)² = a a ≥ 0
绝对值性质 √(a²) = a
乘法性质 √a · √b = √(ab) a ≥ 0, b ≥ 0
除法性质 √a / √b = √(a/b) a ≥ 0, b > 0

例：√(−3)² = |−3| = 3；√8 · √2 = √16 = 4

最简二次根式：满足——①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数。

加减：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同）。

例：√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2

乘除：

√a · √b = √(ab)；√a / √b = √(a/b)

分母有理化：分子分母同乘一个适当的式子，使分母不含根号。

二、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

a² + b² = c²（a, b 为直角边，c 为斜边）

例：直角边 3 和 4，斜边 = √(3² + 4²) = 5

逆定理：如果三角形三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，则它是直角三角形。

常用勾股数：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(6, 8, 10)、(7, 24, 25)、(8, 15, 17)

应用题型：

  • 已知两边求第三边
  • 判断三角形形状
  • 最短路径问题（展开立体图形）
  • 折叠问题

例：一架长 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙 6 m，问梯子顶端距地面多高？

h = √(10² − 6²) = √64 = 8 m

三、平行四边形

平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形。

性质：

  • 对边平行且相等
  • 对角相等，邻角互补（和为 180°）
  • 对角线互相平分

判定（满足其一即可）：

  • 两组对边分别平行
  • 两组对边分别相等
  • 一组对边平行且相等
  • 两组对角分别相等
  • 对角线互相平分

矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形。

特殊性质：

  • 四个角都是直角
  • 对角线相等

判定：

  • 有一个角是直角的平行四边形
  • 对角线相等的平行四边形
  • 有三个角是直角的四边形

菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形。

特殊性质：

  • 四条边都相等
  • 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角

判定：

  • 有一组邻边相等的平行四边形
  • 对角线互相垂直的平行四边形
  • 四条边都相等的四边形

正方形

定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）。

性质：具有矩形和菱形的所有性质。

例：菱形 ABCD 的对角线 AC=6，BD=8，求菱形的边长和面积。

边长 = √((AC/2)² + (BD/2)²) = √(3² + 4²) = 5
面积 = AC × BD ÷ 2 = 6 × 8 ÷ 2 = 24

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。

  • 平行于第三边，且等于第三边的一半

    DE ∥ BC，DE = ½ BC

四、一次函数

变量与函数

定义：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则 y 是 x 的函数。x 叫做自变量。

正比例函数

形如 y = kx（k ≠ 0）的函数。

图象：过原点的一条直线。

  • k > 0：直线经过第一、三象限，y 随 x 增大而增大
  • k < 0：直线经过第二、四象限，y 随 x 增大而减小

一次函数

形如 y = kx + b（k, b 为常数，k ≠ 0）的函数。

图象：一条直线。

k 和 b 的意义：

k b 图象经过的象限 增减性
k > 0 b > 0 一、二、三 y 随 x 增大而增大
k > 0 b < 0 一、三、四 y 随 x 增大而增大
k < 0 b > 0 一、二、四 y 随 x 增大而减小
k < 0 b < 0 二、三、四 y 随 x 增大而减小

|k| 的意义：|k| 越大，直线越陡（越靠近 y 轴）。

例：画出 y = 2x − 1 的图象。

令 x=0 → y=−1，点 (0, −1)
令 y=0 → x=0.5，点 (0.5, 0)
过这两点画直线。

待定系数法：已知两点坐标 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，求一次函数解析式。

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)，再代入一点求 b。

例：已知一次函数过点 (1, 3) 和 (2, 5)，求解析式。

k = (5 − 3) / (2 − 1) = 2
代入 (1, 3)：3 = 2 × 1 + b → b = 1
∴ y = 2x + 1

一次函数与方程、不等式

关系 几何意义
kx + b = 0 直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标
kx + b > 0 直线在 x 轴上方的部分对应的 x 范围
y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂ 的交点 方程组的解

五、数据的分析

平均数

算术平均数：x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

加权平均数：x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₙfₙ) / (f₁ + f₂ + … + fₙ)

fᵢ 为权（频数或权重）

中位数

将数据从小到大排列：

  • n 为奇数：中间那个数
  • n 为偶数：中间两个数的平均数

例：数据 3, 1, 7, 5, 9 → 排序 1, 3, 5, 7, 9 → 中位数 = 5

众数

一组数据中出现次数最多的数。可以不止一个。

例：数据 2, 3, 3, 4, 5 → 众数 = 3

方差

s² = [(x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²] / n

方差衡量数据的波动程度：方差越大，数据越分散。

标准差：s = √(s²)

例：两组数据 A: 1,2,3,4,5 和 B: 1,1,5,5,3，哪组更稳定？

x̄ₐ = 3，s²ₐ = (4+1+0+1+4)/5 = 2 → sₐ = √2 ≈ 1.41
x̄ᵦ = 3，s²ᵦ = (4+4+4+4+0)/5 = 3.2 → sᵦ ≈ 1.79
A 组方差更小，更稳定。