高二数学·核心知识点

人教版高中 A 版选择性必修第一册 + 第二册。教材：ChinaTextbook

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一、空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

定义：与平面向量类似，空间向量是既有大小又有方向的量。

加法：三角形法则、平行四边形法则同样适用于空间向量。

数乘：λa，模为 |λ||a|，λ > 0 同向，λ < 0 反向。

共线向量：a ∥ b（b ≠ 0）⇔ ∃λ ∈ R, a = λb。

共面向量定理：向量 p 与 a, b 共面 ⇔ ∃唯一 (x, y), p = xa + yb。

数量积：a·b = |a||b| cos⟨a, b⟩。

• a ⊥ b ⇔ a·b = 0
• 运算律同上（交换、分配、数乘结合）

1.2 空间向量基本定理

若 {e₁, e₂, e₃} 是三个不共面的向量，则空间中任一向量 a 可唯一表示为：

$$a = x e_1 + y e_2 + z e_3$$

(e₁, e₂, e₃) 叫做空间的一个基底。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

在空间直角坐标系中，设 a = (x₁, y₁, z₁)，b = (x₂, y₂, z₂)：

• a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂, z₁ ± z₂)
• λa = (λx₁, λy₁, λz₁)
• a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
• |a| = √(x₁² + y₁² + z₁²)
• A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂) ⇒ |AB| = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]

夹角：

$$\cos\langle a, b \rangle = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$

1.4 空间向量的应用

用向量表示直线：方向向量 v = (a, b, c) ≠ 0，参数方程 P = P₀ + tv。

用向量表示平面：法向量 n = (A, B, C) ⊥ 平面内所有向量。点法式：A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0。

平行垂直判定：

• 线线平行：方向向量共线（a = λb）
• 线面平行：方向向量 ⊥ 法向量（a·n = 0）
• 面面平行：法向量共线
• 线线垂直：a·b = 0
• 线面垂直：a ∥ n
• 面面垂直：n₁·n₂ = 0

距离：点 P 到平面 α（法向量 n）的距离

$$d = \frac{|AP \cdot n|}{|n|}$$

两异面直线距离（公垂线）：d = |AB·n|/|n|，n 为同时垂直两方向向量。

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二、直线和圆的方程

2.1 直线的倾斜角与斜率

倾斜角 α ∈ [0, π)：直线向上方向与 x 轴正方向的夹角。

斜率 k：k = tan α（α ≠ π/2）。

过两点 P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) 的直线斜率：

$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2)$$

方向向量：v = (1, k) 或 v = (x₂−x₁, y₂−y₁)。

2.2 直线的方程

形式	方程	条件
点斜式	y − y₀ = k(x − x₀)	已知一点和斜率
斜截式	y = kx + b	k 斜率，b 纵截距
两点式	(y−y₁)/(y₂−y₁) = (x−x₁)/(x₂−x₁)	已知两点
截距式	x/a + y/b = 1	a 横截距，b 纵截距
一般式	Ax + By + C = 0	A, B 不全为零

2.3 两直线的位置关系

设 l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0，l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0。

• l₁∥l₂ ⇔ A₁B₂ = A₂B₁
• l₁⊥l₂ ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0 ⇔ k₁k₂ = −1

夹角（锐角或直角）：

$$\tan\theta = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|$$

点到直线距离：

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

平行线间距离：l₁: Ax+By+C₁=0, l₂: Ax+By+C₂=0

$$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

2.4 圆的方程

标准方程：圆心 (a, b)，半径 r

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0（D² + E² − 4F > 0），圆心 (−D/2, −E/2)，半径 ½√(D²+E²−4F)。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

设圆心到直线距离为 d，圆半径为 r：

• d < r ⇔ 相交（两个交点）
• d = r ⇔ 相切
• d > r ⇔ 相离

设两圆圆心距为 d：

• d > r₁ + r₂ ⇔ 外离
• d = r₁ + r₂ ⇔ 外切
• |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ ⇔ 相交
• d = |r₁ − r₂| ⇔ 内切
• d < |r₁ − r₂| ⇔ 内含

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三、圆锥曲线的方程

3.1 椭圆

定义：平面内到两定点 F₁, F₂ 距离之和等于常数 2a（2a > |F₁F₂|）的点的轨迹。

标准方程（焦点在 x 轴）：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$$

其中 a² = b² + c²，c = √(a² − b²)。

• 焦距 |F₁F₂| = 2c，离心率 e = c/a（0 < e < 1）
• 长轴长 2a，短轴长 2b
• 焦点 (±c, 0)，顶点 (±a, 0), (0, ±b)

3.2 双曲线

定义：平面内到两定点 F₁, F₂ 距离之差的绝对值等于常数 2a（0 < 2a < |F₁F₂|）的点的轨迹。

标准方程（焦点在 x 轴）：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

其中 c² = a² + b²，c > a > 0。

• 离心率 e = c/a（e > 1）
• 渐近线：y = ±(b/a)x
• 焦点 (±c, 0)，顶点 (±a, 0)

3.3 抛物线

定义：平面内到定点 F（焦点）和定直线 l（准线，F ∉ l）距离相等的点的轨迹。

标准方程（焦点在 x 轴正半轴）：y² = 2px（p > 0）

• 焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2
• 离心率 e = 1

其他形式：y² = −2px，x² = 2py，x² = −2py。

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四、数列

4.1 数列的概念

定义：按一定顺序排列的一列数 a₁, a₂, a₃, … 叫做数列，记作 {aₙ}。

通项公式：aₙ 与 n 的关系式。

递推公式：由前几项求后项的公式。

4.2 等差数列

定义：从第 2 项起，每一项与前一项的差等于同一个常数 d（公差）。aₙ₊₁ − aₙ = d。

• 通项公式：aₙ = a₁ + (n − 1)d
• 推广：aₙ = aₘ + (n − m)d
• 若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q

前 n 项和：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$$

等差中项：a, A, b 成等差 ⇔ A = (a + b)/2。

4.3 等比数列

定义：从第 2 项起，每一项与前一项的比等于同一个非零常数 q（公比）。aₙ₊₁ / aₙ = q。

• 通项公式：aₙ = a₁q^(n−1)
• 若 m + n = p + q，则 aₘ·aₙ = aₚ·a_q

前 n 项和：

$$S_n = \begin{cases} na_1, & q = 1 \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}, & q \neq 1 \end{cases}$$

等比中项：a, G, b 成等比 ⇔ G² = ab（a, b 同号）。

4.4 数学归纳法

证明与正整数 n 有关的命题：

1. 奠基：证明 n = n₀ 时命题成立
2. 递推：假设 n = k（k ≥ n₀）时命题成立，证明 n = k + 1 时也成立
3. 由 (1)(2) 得命题对所有 n ≥ n₀ 成立

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五、一元函数的导数及其应用

5.1 导数的概念及其意义

平均变化率：Δy/Δx = [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx。

导数（瞬时变化率）：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

几何意义：曲线 y = f(x) 在 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率 k = f’(x₀)。

切线方程：y − f(x₀) = f’(x₀)(x − x₀)。

5.2 导数的运算

基本求导公式：

f(x)	f’(x)
C（常数）	0
xⁿ	nx^(n−1)
sin x	cos x
cos x	−sin x
eˣ	eˣ
ln x	1/x
aˣ (a>0, a≠1)	aˣ ln a
logₐx	1/(x ln a)

运算法则：

• [f(x) ± g(x)]’ = f’(x) ± g’(x)
• [f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
• [Cf(x)]’ = Cf’(x)
• [f(x)/g(x)]’ = [f’(x)g(x) − f(x)g’(x)] / [g(x)]²（g(x) ≠ 0）

复合函数求导：y = f(g(x)) ⇒ y’ = f’(g(x))·g’(x)。

5.3 导数在研究函数中的应用

单调性：f’(x) > 0 ⇔ f(x) 单调增；f’(x) < 0 ⇔ f(x) 单调减。

极值：f’(x₀) = 0 且 f’(x) 在 x₀ 左右两侧变号。

• 左正右负 ⇔ 极大值
• 左负右正 ⇔ 极小值

最大值/最小值：比较极值点与区间端点的函数值。

凹凸性：f’’(x) > 0 ⇔ 凹（下凸），f’’(x) < 0 ⇔ 凸（上凸）。f’’(x₀) = 0 且变号 ⇔ 拐点。