人教版初三上下册。教材：ChinaTextbook

一、一元二次方程

定义：只含一个未知数，未知数最高次数为 2 的整式方程。

一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）

解法：

① 直接开平方法：x² = p → x = ±√p（p ≥ 0）

例：x² = 9 → x = ±3

② 配方法：将方程化为 (x + m)² = n 的形式。

例：x² + 6x − 7 = 0

x² + 6x + 9 = 7 + 9 → (x + 3)² = 16 → x = −3 ± 4 → x₁ = 1, x₂ = −7

③ 公式法（求根公式）：

x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a

判别式 Δ = b² − 4ac：

Δ 根的情况
Δ > 0 两个不等实根
Δ = 0 两个相等实根
Δ < 0 无实根

例：解 2x² − 4x − 1 = 0

Δ = 16 + 8 = 24 → x = (4 ± √24)/4 = 1 ± √6/2

④ 因式分解法：

将方程化为 (x − a)(x − b) = 0 → x₁ = a, x₂ = b

例：x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3

根与系数的关系（韦达定理）：

x₁ + x₂ = −b/a,　x₁ · x₂ = c/a

列方程解应用题三步：设 → 列 → 解 → 检验（舍去不合题意的根）。

例：两数之和为 10，积为 21，求这两数。

设一数为 x，另一数为 10−x → x(10−x) = 21 → x² − 10x + 21 = 0
→ (x−3)(x−7) = 0 → x₁=3, x₂=7 → 两数为 3 和 7

二、二次函数

定义：形如 y = ax² + bx + c（a, b, c 为常数，a ≠ 0）的函数。

图象：抛物线。

a 的作用：

  • a > 0：开口向上，有最低点（最小值）
  • a < 0：开口向下，有最高点（最大值）
  • |a| 越大，开口越窄

顶点坐标：

x = −b/2a，代入得 y

顶点式：y = a(x − h)² + k，顶点为 (h, k)

例：y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，顶点 (2, −1)

对称轴：直线 x = −b/2a

与 x 轴交点：解 ax² + bx + c = 0

  • Δ > 0：两个交点
  • Δ = 0：一个交点（切于 x 轴）
  • Δ < 0：无交点

平移规律：

  • y = ax² → y = a(x − h)² + k（右移 h，上移 k）

例：y = x² 向右平移 2，向上平移 3 → y = (x − 2)² + 3

三种表示：

  • 一般式：y = ax² + bx + c
  • 顶点式：y = a(x − h)² + k
  • 交点式：y = a(x − x₁)(x − x₂)

待定系数法：已知三点坐标 → 列三元一次方程组求 a, b, c。

例：已知抛物线过 (1, 0), (3, 0), (0, 3)，求解析式。

设交点式 y = a(x−1)(x−3)，代入 (0, 3)：3 = a(−1)(−3) = 3a → a = 1
∴ y = (x−1)(x−3) = x² − 4x + 3

实际应用：最大利润、最高高度、最远射程等最值问题 → 找顶点坐标。

三、旋转

定义：把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换。点 O 叫旋转中心，转动的角叫旋转角。

性质：

  • 对应点到旋转中心的距离相等
  • 对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角
  • 旋转前后的图形全等

旋转角：顺时针或逆时针方向转动的角度。

例：将点 A(2, 3) 绕原点逆时针旋转 90°，求对应点。

A(2, 3) → A’(−3, 2)

中心对称：把一个图形绕某一点旋转 180° 后能与另一个图形重合。

  • 对称中心：两图形对应点连线的中点
  • 性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，且被对称中心平分

关于原点对称：(x, y) → (−x, −y)

坐标系中旋转 90°：

  • 逆时针 90°：(x, y) → (−y, x)
  • 顺时针 90°：(x, y) → (y, −x)

中心对称图形：一个图形绕某一点旋转 180° 后能与自身重合。如平行四边形、圆。

四、圆

定义：平面上到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。

相关概念：

  • 弦：连接圆上任意两点的线段。直径是最长的弦
  • 弧：圆上任意两点间的部分。大于半圆的叫优弧，小于的叫劣弧
  • 圆心角：顶点在圆心的角
  • 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：

  • 同弧（或等弧）所对的圆周角相等
  • 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）
  • 90° 的圆周角所对的弦是直径

例：AB 是 ⊙O 的直径，C 在圆上。若 ∠CAB = 30°，求 ∠CBA。

∠ACB = 90°（直径所对），∠CBA = 90° − 30° = 60°

点和圆的位置关系：

  • d < r：点在圆内
  • d = r：点在圆上
  • d > r：点在圆外

直线和圆的位置关系：

  • d < r：相交（两个交点）
  • d = r：相切（一个交点）
  • d > r：相离（无交点）

切线的判定与性质：

  • 判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
  • 性质：圆的切线垂直于过切点的半径

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

正多边形和圆：正 n 边形的外接圆和内切圆同心。

弧长与扇形面积：

  • 弧长：l = nπR/180 = αR（α 为弧度制下的圆心角）
  • 扇形面积：S = nπR²/360 = ½lR

例：半径为 6 cm，圆心角 60° 的扇形，弧长和面积？

l = 60π×6/180 = 2π cm，S = 60π×36/360 = 6π cm²

五、概率初步

确定事件与随机事件：

  • 必然事件：P = 1
  • 不可能事件：P = 0
  • 随机事件：0 < P < 1

概率定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数叫做事件 A 的概率 P(A)。

古典概型：P(A) = 事件 A 包含的结果数 / 所有等可能结果的总数

例：掷一颗骰子，求点数为偶数的概率。

总结果 6 种，偶数 {2, 4, 6} 3 种 → P = 3/6 = 1/2

列举法求概率：直接列举、列表法、树状图法。

例：同时掷两枚硬币，求一正一反的概率。

可能结果：(正,正) (正,反) (反,正) (反,反)，4 种等可能
一正一反有 2 种 → P = 2/4 = 1/2

用频率估计概率：当试验次数很大时，频率 ≈ 概率（适合非古典概型，如投篮命中率）。

一、反比例函数

定义：形如 y = k/x（k 为常数，k ≠ 0）的函数。

图象：双曲线。两支分别位于两个象限。

  • k > 0：位于第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 增大而减小
  • k < 0：位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 增大而增大

|k| 的几何意义：双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积 = |k|。

例：点 P(2, 3) 在 y = k/x 上，求 k 并判断 (−1, −6) 是否也在图象上。

k = 2 × 3 = 6 → y = 6/x。代入 (−1, −6)：6/(−1) = −6 ✓，在图象上。

待定系数法：已知一组 x, y 对应值 → k = xy，代入求 k。

与一次函数的综合：联立 y = k₁x + b 和 y = k₂/x → 化为二次方程求交点。

例：y = 2x + 1 与 y = 6/x 的交点。

2x + 1 = 6/x → 2x² + x − 6 = 0 → (2x−3)(x+2) = 0 → x₁ = 3/2, x₂ = −2
交点：(1.5, 4) 和 (−2, −3)

二、相似

比例线段：若 a/b = c/d，则 ad = bc。

相似图形：形状相同、大小不一定相同的图形。

相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形。

相似比（比例系数）记为 k

相似三角形：

判定定理：

判定 条件
AA 两角分别相等
SAS 两边成比例且夹角相等
SSS 三边成比例

相似三角形的性质：

  • 对应角相等，对应边成比例
  • 对应高、中线、角平分线的比等于相似比 k
  • 周长比等于相似比 k
  • 面积比等于 k²

例：△ABC ∽ △DEF，AB=6, DE=9, △ABC 面积为 12，求 △DEF 面积。

k = AB/DE = 6/9 = 2/3 → 面积比 = k² = 4/9 → S_DEF = 12 × 9/4 = 27

平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

位似：两个相似多边形对应顶点连线交于一点（位似中心），且对应边互相平行。

坐标系中的位似：以原点为位似中心，相似比为 k，点 (x, y) → (kx, ky) 或 (−kx, −ky)

三、锐角三角函数

正弦、余弦、正切（在 Rt△ABC 中，∠C = 90°）：

函数 定义 公式
sin A ∠A 的对边 / 斜边 a/c
cos A ∠A 的邻边 / 斜边 b/c
tan A ∠A 的对边 / ∠A 的邻边 a/b

特殊角的三角函数值：

角度 sin cos tan
30° 1/2 √3/2 √3/3
45° √2/2 √2/2 1
60° √3/2 1/2 √3

记忆口诀：30° 正弦二分之一（1/2, √3/2, √3/3），45° 都是一半根号二（√2/2, √2/2, 1），60° 反过来（√3/2, 1/2, √3）

锐角三角函数的关系：

  • sin²A + cos²A = 1
  • tan A = sin A / cos A
  • sin(90°−A) = cos A
  • cos(90°−A) = sin A
  • tan(90°−A) = 1/tan A

例：已知 sin A = 3/5，∠A 为锐角，求 cos A 和 tan A。

cos A = √(1 − sin²A) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5
tan A = sin A / cos A = (3/5) / (4/5) = 3/4

解直角三角形：已知一边和一锐角（或两边），求其他边和角。

例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边 AB=10，求 BC 和 AC。

BC = AB × sin 30° = 10 × 1/2 = 5
AC = AB × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3

应用：仰角/俯角测量、坡度(i = h/l = tan α)、方向角问题。

例：塔底高 50m，从塔顶测得地面上一点俯角为 30°，求该点到塔底的距离。

tan 30° = 50/d → d = 50/ (√3/3) = 50√3 ≈ 86.6 m

四、投影与视图

投影

平行投影：由平行光线形成的投影。

  • 正投影：投影线垂直于投影面

中心投影：由同一点发出的光线形成的投影（如灯光下的影子）。

投影性质：

  • 线段的正投影：平行时长度不变，倾斜时变短，垂直时缩为一点
  • 平面图形的正投影：形状大小与图形相对于投影面的位置有关

三视图

主视图：从正面看（前面向后投影）
俯视图：从上面看（上面向下投影）
左视图：从左面看（左面向右投影）

三视图规律：

  • 主、俯：长对正
  • 主、左：高平齐
  • 俯、左：宽相等

例：一个底边为 4、高为 3 的正四棱锥，画三视图。

主视图：等腰三角形（底 4，高 3）
俯视图：正方形（边长 4，中心连各顶点）
左视图：等腰三角形（底 4，高 3）

常见几何体的三视图：

几何体 主视图 俯视图 左视图
长方体 矩形 矩形 矩形
圆柱 矩形 圆 矩形
圆锥 等腰三角形 圆(含圆心) 等腰三角形
球 圆 圆 圆

由三视图还原几何体：根据三视图的形状和尺寸推断原几何体的类型和大小，特别注意虚线表示不可见轮廓。