高一数学·核心知识点

人教版高中 A 版必修第一册 + 第二册。教材：ChinaTextbook

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一、集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念

定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

常用数集：自然数集 N、正整数集 N* 或 N₊、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R。

表示法：

• 列举法：{1, 2, 3, 4}
• 描述法：{x ∈ R | x < 10}

性质：确定性、互异性、无序性。

1.2 集合间的基本关系

• 子集：若 ∀x ∈ A，有 x ∈ B，则 A ⊆ B（或 B ⊇ A）
• 真子集：A ⊆ B 且 ∃x ∈ B，x ∉ A，记作 A ⫋ B
• 相等：A ⊆ B 且 B ⊆ A ⇔ A = B
• 空集 ∅：不含任何元素的集合，∅ 是任何集合的子集

1.3 集合的基本运算

• 并集：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
• 交集：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
• 补集：∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}
• card：有限集合 A 的元素个数记作 card(A)
  • card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)

1.4 充分条件与必要条件

• 若 p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
• 若 p ⇔ q，则 p 与 q 互为充要条件

1.5 全称量词与存在量词

• 全称量词 ∀：∀x ∈ M, p(x)
• 存在量词 ∃：∃x ∈ M, p(x)
• ¬(∀x p(x)) ≡ ∃x ¬p(x)
• ¬(∃x p(x)) ≡ ∀x ¬p(x)

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二、一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质

基本事实：a > b ⇔ a − b > 0；a = b ⇔ a − b = 0；a < b ⇔ a − b < 0。

不等式性质：

1. a > b ⇔ b < a
2. a > b, b > c ⇒ a > c
3. a > b ⇒ a + c > b + c
4. a > b, c > 0 ⇒ ac > bc；a > b, c < 0 ⇒ ac < bc
5. a > b, c > d ⇒ a + c > b + d
6. a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd
7. a > b > 0 ⇒ aⁿ > bⁿ（n ∈ N, n ≥ 2）

2.2 基本不等式

基本不等式：对于 a, b > 0，有

$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$

当且仅当 a = b 时等号成立。√ab 称为 a, b 的几何平均数，(a + b)/2 称为算术平均数。

最值结论：设 x, y > 0，

• 若 x + y = S（定值），则 xy ≤ S²/4，x = y 时取最大
• 若 xy = P（定值），则 x + y ≥ 2√P，x = y 时取最小

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

以 Δ = b² − 4ac 判别 ax² + bx + c = 0（a > 0）的根：

• Δ > 0：两根 x₁ < x₂，不等式 ax² + bx + c > 0 的解为 x < x₁ 或 x > x₂
• Δ = 0：一根 x₀，ax² + bx + c > 0 的解为 x ≠ x₀
• Δ < 0：ax² + bx + c > 0 解为 R

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三、函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示

定义：设 A, B 是非空的实数集，若按某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，则称 f: A → B 为从 A 到 B 的一个函数，记作 y = f(x), x ∈ A。

三要素：定义域、对应关系、值域。两个函数相等 ⇔ 定义域相同且对应关系一致。

区间表示：(a, b) 开区间，[a, b] 闭区间，(a, +∞) 无穷区间。

3.2 函数的基本性质

单调性：∀x₁, x₂ ∈ D，x₁ < x₂

• 若 f(x₁) < f(x₂)，则 f(x) 在 D 上单调递增
• 若 f(x₁) > f(x₂)，则 f(x) 在 D 上单调递减

最大（小）值：M 是最大值 ⇔ ∀x ∈ D, f(x) ≤ M 且 ∃x₀ ∈ D, f(x₀) = M。

奇偶性：设定义域关于原点对称，

• 偶函数：f(−x) = f(x)，图象关于 y 轴对称
• 奇函数：f(−x) = −f(x)，图象关于原点对称

3.3 幂函数

定义：形如 y = x^α（α ∈ R）的函数。

五个常见幂函数：y = x, y = x², y = x³, y = x^(1/2), y = x^(−1)。

3.4 函数的应用（一）

利用一次、二次、幂函数等建模解决实际问题。

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四、指数函数与对数函数

4.1 指数

n 次方根：若 xⁿ = a，则 x 叫 a 的 n 次方根。

分数指数幂：

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0)$$ $$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \quad (a > 0)$$

运算法则（a > 0, b > 0, r, s ∈ R）：

• aʳ · aˢ = aʳ⁺ˢ
• (aʳ)ˢ = aʳˢ
• (ab)ʳ = aʳbʳ

4.2 指数函数

定义：y = aˣ（a > 0 且 a ≠ 1），定义域 R，值域 (0, +∞)。

性质：a > 1 时单调递增；0 < a < 1 时单调递减。图象恒过定点 (0, 1)。

4.3 对数

定义：若 aˣ = N（a > 0 且 a ≠ 1），则 x = logₐN。常用对数 lg N = log₁₀N，自然对数 ln N = logₑN。

运算法则（a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0）：

• logₐ(MN) = logₐM + logₐN
• logₐ(M/N) = logₐM − logₐN
• logₐMⁿ = n logₐM
• 换底公式：logₐb = log꜀b / log꜀a

4.4 对数函数

定义：y = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1），定义域 (0, +∞)，值域 R。

性质：a > 1 时单调递增；0 < a < 1 时单调递减。图象恒过 (1, 0)。

反函数：y = aˣ 与 y = logₐx 互为反函数，图象关于 y = x 对称。

4.5 函数的应用（二）

函数的零点：方程 f(x) = 0 的实数根 ⇔ 函数 y = f(x) 的图象与 x 轴有公共点。

零点存在定理：若 y = f(x) 在 [a, b] 上的图象是连续曲线，且 f(a)·f(b) < 0，则 f(x) 在 (a, b) 内至少有一个零点。

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五、三角函数

5.1 任意角和弧度制

任意角：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角。α + k·360° (k ∈ Z) 终边相同。

弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度的角。|α| = l / r。

180° = π rad，1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad，1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°。

弧长和面积：l = |α|·R，S = ½lR = ½|α|R²。

5.2 三角函数的概念

设 α 终边与单位圆交于点 P(x, y)，则：

• sin α = y（正弦）
• cos α = x（余弦）
• tan α = y/x (x ≠ 0)（正切）

同角关系：sin²α + cos²α = 1，tan α = sin α / cos α。

诱导公式：口诀“奇变偶不变，符号看象限”。

5.3 正弦函数、余弦函数的图象和性质

y = sin x：值域 [−1, 1]，周期 2π，奇函数，在 [−π/2+2kπ, π/2+2kπ] 增。

y = cos x：值域 [−1, 1]，周期 2π，偶函数，在 [−π+2kπ, 2kπ] 增。

周期：若 f(x + T) = f(x) 对任意 x 成立（T ≠ 0），则 T 是周期。

5.4 正切函数的图象和性质

y = tan x：定义域 {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}，值域 R，周期 π，奇函数，在 (−π/2+kπ, π/2+kπ) 增。

5.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$$

二倍角公式：

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$ $$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$

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六、平面向量及其应用

6.1 平面向量的概念

向量：既有大小又有方向的量。有向线段 AB 表示，记作 AB→。模 |AB→| 表示长度。

• 零向量 0→：长度为 0，方向任意
• 单位向量：长度为 1
• 平行（共线）向量：方向相同或相反
• 相等向量：大小相等且方向相同

6.2 平面向量的运算

加法：三角形法则 AB→ + BC→ = AC→；平行四边形法则 OA→ + OB→ = OC→。

减法：a − b = a + (−b)。

数乘：λa 的模 |λ||a|，λ > 0 同向，λ < 0 反向。

共线定理：a∥b（b ≠ 0）⇔ ∃λ ∈ R, a = λb。

数量积：a·b = |a||b|cosθ，θ 为 a, b 的夹角。

• a ⊥ b ⇔ a·b = 0
• a·a = |a|²
• 运算律：交换律 a·b = b·a；分配律 (a + b)·c = a·c + b·c

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

基本定理：e₁, e₂ 不共线，则 ∀a，∃唯一 (λ₁, λ₂) 使 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。

设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)：

• a + b = (x₁+x₂, y₁+y₂)
• a − b = (x₁−x₂, y₁−y₂)
• λa = (λx₁, λy₁)
• a·b = x₁x₂ + y₁y₂
• |a| = √(x₁² + y₁²)
• cosθ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²))

6.4 平面向量的应用

余弦定理：a² = b² + c² − 2bc cos A，b² = c² + a² − 2ca cos B，c² = a² + b² − 2ab cos C。

正弦定理：a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R（R 为外接圆半径）。

面积：S = ½bc sin A = ½ca sin B = ½ab sin C。

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七、复数

7.1 复数的概念

虚数单位 i：i² = −1。

复数 z = a + bi（a, b ∈ R），a 叫实部，b 叫虚部。b = 0 为实数，b ≠ 0 为虚数，a = 0, b ≠ 0 为纯虚数。

相等：a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d。

7.2 复数的四则运算

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi) / (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc − ad)i/(c² + d²)

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八、立体几何初步

8.1 基本立体图形

柱体：棱柱、圆柱——两个底面全等且平行。
锥体：棱锥、圆锥——一个底面，所有侧棱交于一点。
台体：棱台、圆台——平行于底面的截面。
球：空间中到定点距离等于定长的点的集合。

8.2 立体图形的直观图

斜二测画法：x 轴不变，y 轴画成 45°，长度取一半。

8.3 表面积与体积

• 柱体：V = Sh
• 锥体：V = ⅓Sh
• 台体：V = ⅓(S₁ + √(S₁S₂) + S₂)h
• 球：S = 4πR²，V = ⁴⁄₃πR³

8.4 空间点、直线、平面的位置关系

公理：

1. 不共线三点确定一个平面
2. 两点在平面内，则连线在平面内
3. 不重合两平面有一公共点，则有且仅有过该点的公共直线

平行判定：

• 线面平行：平面外一直线与平面内一直线平行
• 面面平行：一平面内两相交直线分别平行于另一平面

垂直判定：

• 线面垂直：一直线与平面内两相交直线垂直
• 面面垂直：一平面过另一平面的垂线

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九、统计

9.1 随机抽样

简单随机抽样：总体中每个个体被抽中的概率相等。常用抽签法或随机数法。

分层随机抽样：按比例在各层中抽取样本。

样本平均数 x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n 是总体平均数 μ 的估计。

9.2 用样本估计总体

频率分布直方图：组距 × 频率/组距 = 频率。

数字特征：

• 平均数：x̄ = ∑xᵢ/n
• 中位数：排序后中间位置的数
• 众数：出现次数最多的值
• 方差：s² = ∑(xᵢ − x̄)² / n
• 标准差：s = √(s²)

百分位数：第 p 百分位数满足至少 p% 的数据 ≤ 它。

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十、概率

10.1 随机事件与概率

样本空间 Ω：所有可能结果的集合。样本点：每个可能结果。

事件：Ω 的子集。必然事件 = Ω，不可能事件 = ∅。

事件关系：

• 包含 A ⊆ B、互斥 A ∩ B = ∅、对立 A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = Ω
• A ∪ B（至少一个发生）、A ∩ B（同时发生）

10.2 古典概型

有限个样本点，每个样本点等可能。

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$

概率的性质：

1. P(∅) = 0，P(Ω) = 1，0 ≤ P(A) ≤ 1
2. A, B 互斥 ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
3. P(A-B) = P(A) − P(A ∩ B)
4. P(A⁻) = 1 − P(A)

10.3 事件的相互独立性

P(AB) = P(A)P(B) ⇔ A, B 相互独立。

若 A, B 独立，则 A⁻ 与 B、A 与 B⁻、A⁻ 与 B⁻ 也相互独立。

10.4 频率与概率

事件 A 的频率 fₙ(A) = n_A / n。随 n ↑，fₙ(A) 稳定于 P(A)（大数定律）。

蒙特卡洛方法：利用随机模拟求概率近似值。