参考教材：同济大学数学系《高等数学》第七版 下册（第8–12章）。GitHub 配套课本：github.com/goodisok/ChinaTextbook

一、向量代数与空间解析几何——从平面到空间

概念直觉

上册的函数都是 y=f(x)y=f(x)：一个输入、一个输出。但世界不是一维的。一架无人机的位置是 (x,y,z)(x,y,z)，姿态是 (ϕ,θ,ψ)(\phi,\theta,\psi)——六个输入。我们需要一种能在三维空间里做数学的工具，这就是向量。

向量基本运算

点积（内积）：

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta

物理意义：力 F\mathbf{F} 沿位移 s\mathbf{s} 做的功 W=F⋅sW = \mathbf{F}\cdot\mathbf{s}。如果力和位移垂直，不做功——这就是为什么轨道速度不改变轨道高度。

叉积（外积）：

a×b=∣a∣∣b∣sin⁡θ  n\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\;\mathbf{n}

结果是垂直于两个向量的新向量，方向由右手定则确定。

物理意义：力矩 τ=r×F\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}，角动量 L=r×p\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}。四旋翼的每个旋翼产生的力矩就是位置向量叉积推力向量。

混合积 (a×b)⋅c(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}：平行六面体的体积。三个向量共面时混合积为零——判断共面的代数方法。

空间中的平面与直线

平面方程：Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0，法向量 n=(A,B,C)\mathbf{n}=(A,B,C)。

直线方程（点向式）：

x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}

方向向量 s=(m,n,p)\mathbf{s}=(m,n,p)。

两个关键公式：

  • 两平面夹角 = 两法向量夹角，cos⁡θ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}
  • 点到平面的距离：d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

二次曲面

这是空间解析几何最常用的部分——你要认识这些形状：

曲面 标准方程 形状
椭球面 x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 压扁的球
单叶双曲面 x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 沙漏形
椭圆抛物面 z=x2a2+y2b2z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} 碗形
双曲抛物面 z=x2a2−y2b2z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} 马鞍形

手算例子

判断点 P(1,2,3)P(1,2,3) 是否在平面 2x−y+z−3=02x-y+z-3=0 上：

2×1−2+3−3=0✓2\times 1 - 2 + 3 - 3 = 0 \quad\checkmark

在。

工程应用

  • 四旋翼推力向量：每个旋翼产生沿机体 zz 轴正方向的力，三个分量靠姿态角分配
  • LiDAR 点云：每个回波点就是一个三维向量 (x,y,z)(x,y,z)，全部运算都是向量运算
  • 碰撞检测：点到平面的距离判断无人机是否穿过障碍边界

二、多元函数微分法——高维世界的导数

概念直觉

上册的导数 f′(x)f'(x) 只有一个方向——沿着 xx 轴。多元函数 f(x,y,z)f(x,y,z) 有无数个方向可以移动。沿每个方向的导数都不一样。怎么描述？

偏导数

对 xx 求偏导：把 yy 和 zz 当作常数，只对 xx 求导。记法：

∂f∂x,fx\frac{\partial f}{\partial x},\quad f_x

几何意义：用 y=y= 常数的平面去截曲面 z=f(x,y)z=f(x,y)，交线是一条曲线，该曲线在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的切线斜率就是 ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}。

全微分

一元微积分：dy=f′(x) dxdy = f'(x)\,dx。多元推广：

dz=∂f∂xdx+∂f∂ydydz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy

这是线性近似在多元的版本：函数的变化 ≈ 各分量变化 × 对应偏导数之和。

链式法则（多元版）

一元：ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)。

多元：

ddtf(x(t),y(t))=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

这就是反向传播的数学根基。 深度学习里每一个神经元的梯度就是沿着这张链式法则的网络逐层传回去的。

方向导数与梯度——这一章的灵魂

沿单位向量 u\mathbf{u} 方向的导数：

Duf=∇f⋅uD_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

其中 ∇f=(∂f∂x,∂f∂y)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) 是梯度向量。

梯度的三个事实：

  1. 梯度指向函数增长最快的方向
  2. 梯度的模就是最大方向导数
  3. 梯度垂直于等值线（等高线）

梯度与方向导数——梯度指向最陡方向

多元函数的极值

一元：f′(x)=0f'(x)=0 且 f′′(x)>0f''(x)>0 → 极小值。

多元需要看二阶偏导数组成的 Hessian 矩阵：

H=[fxxfxyfyxfyy]H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix}

判断规则（AC−B2AC-B^2 判别法）：

AC−B2AC-B^2 A=fxxA=f_{xx} 结论
>0>0 >0>0 极小值
>0>0 <0<0 极大值
<0<0 任意 鞍点（不是极值）
=0=0 任意 无法判断（需更高阶）

拉格朗日乘数法：带约束的最优化。求 f(x,y)f(x,y) 在 g(x,y)=0g(x,y)=0 条件下的极值：

L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)

然后令 ∂L∂x=∂L∂y=∂L∂λ=0\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0 联立求解。λ\lambda 叫拉格朗日乘子，物理意义：约束”松一点”时目标函数的边际变化。

手算例子

求 f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x^2+xy+y^2 的极值。

∂f∂x=2x+y=0,∂f∂y=x+2y=0  ⇒  x=0,y=0\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+2y=0 \;\Rightarrow\; x=0,y=0 fxx=2,  fxy=1,  fyy=2,  AC−B2=4−1=3>0,  A>0f_{xx}=2,\;f_{xy}=1,\;f_{yy}=2,\; AC-B^2=4-1=3>0,\;A>0

∴ f(0,0)=0f(0,0)=0 是极小值。

工程应用

  • 梯度下降：xk+1=xk−α∇f(xk)=xk−α(∂f∂x,∂f∂y)\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - \alpha\nabla f(\mathbf{x}_k) = \mathbf{x}_k - \alpha\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)——每一步沿着梯度反方向走
  • EKF 线性化：对非线性运动方程 f(x)f(\mathbf{x}) 在估计点求偏导得到 Jacobian 矩阵，然后当线性系统处理
  • 姿态控制：欧拉角动力学方程 Jω˙=τ−ω×(Jω)J\dot{\boldsymbol{\omega}} = \boldsymbol{\tau} - \boldsymbol{\omega}\times(J\boldsymbol{\omega}) 的每一个分量都是多元函数

三、重积分——在平面和空间中求和

概念直觉

定积分是一维区域的求和（线段）。重积分是二维或三维区域的求和。

面积上的累加 → 二重积分。体积上的累加 → 三重积分。

二重积分

区域 DD 上对 f(x,y)f(x,y) 积分：

∬Df(x,y) dx dy\iint_D f(x,y)\,dx\,dy

几何意义：曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 在区域 DD 下围成的体积。

二重积分——曲面下的体积由无数立柱累加而成

计算方法：化成两次定积分（累次积分）。先固定 xx，对 yy 积分（得到 xx 截面面积），再对 xx 积分。

交换积分次序：dx dy↔dy dxdx\,dy \leftrightarrow dy\,dx。次序不同，难度可能天差地别——学会看积分区域的形状选次序。

极坐标变换

当积分区域是圆或环形时，直角坐标系被积分区域卡死。换到极坐标：

x=rcos⁡θ,  y=rsin⁡θ,  dx dy=r dr dθx=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; dx\,dy = r\,dr\,d\theta

那个多出来的 rr 别忘——它是坐标变换的雅可比行列式，代表面积微元从矩形变成扇形的面积补偿。

三重积分

∭Ωf(x,y,z) dx dy dz\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

柱坐标：x=rcos⁡θ,  y=rsin⁡θ,  z=z,  dx dy dz=r dr dθ dzx=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z,\; dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz

球坐标：x=ρsin⁡ϕcos⁡θ,  y=ρsin⁡ϕsin⁡θ,  z=ρcos⁡ϕ,  dx dy dz=ρ2sin⁡ϕ dρ dϕ dθx=\rho\sin\phi\cos\theta,\; y=\rho\sin\phi\sin\theta,\; z=\rho\cos\phi,\; dx\,dy\,dz = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta

选坐标系的铁律：区域是什么形状就用对应的坐标系。球→球坐标，柱→柱坐标。硬用直角坐标等于自虐。

手算例子

算半圆 x2+y2≤1,  y≥0x^2+y^2\leq 1,\; y\geq 0 的面积（用二重积分验证初中公式）：

A=∬D1 dx dy=∫0π∫01r dr dθ=π⋅12=π2A = \iint_D 1\,dx\,dy = \int_0^\pi\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \pi\cdot\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}

（半圆面积确实是 π/2\pi/2 ✓）

工程应用

  • 质心：xˉ=∭x ρ dV∭ρ dV\bar{x} = \frac{\iiint x\,\rho\,dV}{\iiint \rho\,dV}——密度分布积分求重心位置
  • 转动惯量矩阵：Ixx=∭(y2+z2) dmI_{xx}=\iiint (y^2+z^2)\,dm——四旋翼机体惯量全靠三重积分计算
  • 概率积分：多元正态分布的归一化常数 ∫−∞∞e−x2/2dx=2π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}——重积分的经典应用

四、曲线积分与曲面积分——沿着”线”和”面”积分

概念直觉

前面的积分都在”区域”上——线段、矩形、球体。但如果我要算沿着一条曲线做的功，或者穿出一个曲面的流量呢？

这就是曲线积分和曲面积分。

第一类曲线积分（对弧长）

沿着曲线 LL 对函数 f(x,y)f(x,y) 积分：

∫Lf(x,y) ds\int_L f(x,y)\,ds

物理意义：质量密度为 f(x,y)f(x,y) 的弯曲细线，总质量就是 ff 沿弧长的积分。

计算方法：把曲线参数化 x=x(t),y=y(t)x=x(t), y=y(t)，ds=[x′(t)]2+[y′(t)]2 dtds = \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt。

第二类曲线积分（对坐标）

∫LP dx+Q dy\int_L P\,dx + Q\,dy

物理意义：变力 F=(P,Q)\mathbf{F}=(P,Q) 沿曲线 LL 做功。

计算方向必须指定——沿 LL 正向（AA 到 BB）和反向（BB 到 AA），积分值差一个负号。

格林公式——把”线圈积分”变”面积积分”

设 LL 是闭曲线（绕一圈回到起点），围成区域 DD。格林公式说：

∮LP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy

左边是曲线积分（沿边界），右边是二重积分（在内部）。边界上的信息可以从内部算出来。

这是高斯公式和斯托克斯公式的二维版本——后面两个是它的三维推广。

方向注意：LL 取正向（沿着 LL 走，区域 DD 始终在左手边）。

曲面积分

第一类（对面积）：∬Σf(x,y,z) dS\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS。物理意义：曲面的质量。

第二类（对坐标）：∬ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy\iint_\Sigma P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy。物理意义：流体流经曲面的通量（flux）。

高斯公式（散度定理）

闭曲面 Σ\Sigma 围成区域 Ω\Omega：

∯ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dx dy dz\oiint_\Sigma P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dx\,dy\,dz

括号里的就是散度 ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf{F}——“从该点流出多少”。高斯公式说：穿过闭曲面的总流量 = 曲面内部所有源的总和。

斯托克斯公式

空间闭曲线 LL 和以它为边界的曲面 Σ\Sigma：

∮LP dx+Q dy+R dz=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dy dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\oint_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\,dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dz\,dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy

这是旋度 ∇×F\nabla\times\mathbf{F} 的曲面积分。斯托克斯公式说：沿边界的环量 = 内部旋度的通量。

三大公式关系一览

公式 维度 把什么变什么 核心量
格林 2D 闭曲线积分 → 面积分 旋度(二维)
高斯 3D 闭曲面积分 → 体积分 散度
斯托克斯 3D 闭曲线积分 → 曲面积分 旋度

牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式——这四个其实是同一个思想在不同维度上的表现：边界上的信息 = 内部某种”密度”的积分。数学上统称广义斯托克斯定理。

手算例子（格林公式）

算 ∮Lxy dx\oint_L xy\,dx，LL 是 y=x2y=x^2 和 y=xy=x 围成的闭区域（正向）：

直接算需分成两段曲线积分别算。用格林公式：

∮Lxy dx=∬D(0−x)dx dy=−∬Dx dx dy\oint_L xy\,dx = \iint_D\left(0 - x\right)dx\,dy = -\iint_D x\,dx\,dy

先对 yy：DD 是 x2≤y≤xx^2\leq y\leq x，xx 从 0 到 1：

−∫01∫x2xx dy dx=−∫01x(x−x2) dx=−∫01(x2−x3) dx=−[x33−x44]01=−112-\int_0^1\int_{x^2}^x x\,dy\,dx = -\int_0^1 x(x-x^2)\,dx = -\int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = -\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = -\frac{1}{12}

工程应用

  • 环量：沿翼型封闭曲线计算环量 = 升力（Kutta-Joukowski 定理）——这是固定翼气动的核心公式
  • 通量：高斯公式计算发动机进口/出口的气流流量
  • 旋度：四旋翼旋翼尾迹的涡量场——旋度不为零的区域就是有涡的地方

五、无穷级数——函数可以用无穷项之和来表达

概念直觉

泰勒公式说：函数 ≈ 多项式。但如果加足够多项——甚至无穷多项——能不能精确等于原函数？

这就是无穷级数要回答的问题。

常数项级数

∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n

部分和 Sn=∑k=1nakS_n = \sum_{k=1}^n a_k。如果 lim⁡n→∞Sn\lim_{n\to\infty}S_n 存在（等于 SS），说级数收敛于 SS。

一个必须记住的结论：调和级数 ∑1n\sum \frac{1}{n} 发散；p-级数 ∑1np\sum \frac{1}{n^p} 当 p>1p>1 收敛，p≤1p\leq 1 发散。

正项级数的审敛法

方法 操作 何时用
比较法 和已知收敛/发散的级数比大小 通项有明显的上下界
比值法 算 lim⁡an+1an=ρ\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho 含阶乘或指数
根值法 算 lim⁡ann=ρ\lim \sqrt[n]{a_n} = \rho 含 nn 次方
ρ<1\rho<1 收敛，ρ>1\rho>1 发散，ρ=1\rho=1 此法无效。

交错级数——莱布尼茨判别法

∑(−1)n−1an\sum (-1)^{n-1}a_n（an>0a_n>0 递减趋零）一定收敛。例如 ∑(−1)n−1n\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n} 收敛（尽管绝对值级数调和发散）。

绝对收敛：∑∣an∣\sum|a_n| 收敛→原级数收敛且与重排无关。条件收敛：原级数收敛但 ∑∣an∣\sum|a_n| 发散——重排可以变出任何极限值（黎曼重排定理）。

幂级数——用多项式表示函数

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n

一系列 (x−x0)n(x-x_0)^n 乘以系数的和。

收敛半径 RR（比值法）：lim⁡∣anan+1∣=R\lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = R。∣x−x0∣<R|x-x_0|<R 时收敛，∣x−x0∣>R|x-x_0|>R 时发散。

核心结论：幂级数在收敛区间内可以像多项式一样逐项求导和积分。

函数展开成幂级数

给定函数 f(x)f(x)，求它的幂级数表示——这就是上册泰勒公式的直接延续：

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

当 x0=0x_0=0 时叫麦克劳林级数。几个必须记住的结果：

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯(∣x∣<∞)\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \quad (|x|<\infty) cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯(∣x∣<∞)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \quad (|x|<\infty) ex=1+x+x22!+x33!+⋯(∣x∣<∞)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad (|x|<\infty) ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯(−1<x≤1)\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (-1<x\leq 1) 11−x=1+x+x2+x3+⋯(∣x∣<1)\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x|<1)

注意最后一个的 (−1,1)(-1,1) 收敛域——右边可能无限长，但只在一段区间内有意义。

傅里叶级数——用三角函数表示周期函数

幂级数擅长表示光滑函数。对于周期信号——方波、锯齿波、PWM 脉宽信号——需要傅里叶级数。

周期 2π2\pi 的函数：

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right)

系数：

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dx,bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dxa_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx

直觉：任意周期函数 = 一组不同频率的正弦余弦的加权和。ana_n 和 bnb_n 就是在问：”f(x)f(x) 中包含多大比例的频率 nn？”

方波的傅里叶级数逼近——项数越多逼近越好

手算例子：方波的傅里叶级数

f(x)={1,0<x<π−1,−π<x<0f(x) = \begin{cases} 1, & 0<x<\pi \\ -1, & -\pi<x<0 \end{cases}，周期 2π2\pi。 an=0a_n=0（奇函数），bn=2nπ(1−(−1)n)b_n = \frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)。 f(x)=4π(sin⁡x+sin⁡3x3+sin⁡5x5+⋯ )f(x) = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right)

只取一项：4πsin⁡x\frac{4}{\pi}\sin x——一个波浪。取 5 项：已经有方波的轮廓了。取 50 项：几乎就是方波——除了在跳跃处有吉布斯现象（约 9% 的过冲，无论加多少项都存在）。

工程应用

  • FFT 振动分析：四旋翼飞控的 IMU 数据进 FFT（快速傅里叶变换），频谱图显示哪个频率振动超标——就是傅里叶级数的工程实现
  • 姿态估计：互补滤波 = 加速度计低频成分 + 陀螺仪高频成分——在频域里”拼”信号
  • 数字信号处理：低通滤波器截止高频（噪声），保留低频（真实信号）——全是在频域做文章
  • 弹道预测：目标轨迹的频谱分析——周期性机动可以通过傅里叶系数识别

两册知识体系总览

上册（1-7章） 下册（8-12章）
极限——函数的行为 向量——空间的数学
导数——变化的速率 偏导数——多方向的变化率
中值定理——微分的”武器” 梯度——最陡的方向
不定积分——微分的逆 重积分——面积/体积上的求和
定积分——无穷和的极限 曲线/曲面积分——沿边界的求和
定积分应用——积分能做什么 格林/高斯/斯托克斯——边界↔内部
微分方程——变化规律 无穷级数——函数 = 无穷项之和

上册打通了一维世界（yy vs xx），下册打开了三维世界（ff vs x,y,zx,y,z）和频域世界（ff vs 频率）。

符号读法速查 · 下册新增

符号 读法 含义
∇\nabla nabla/梯度算子 ∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})
∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} 偏 f 偏 x 对 xx 求偏导数
∬\iint 二重积分 对面积积分
∭\iiint 三重积分 对体积积分
∮\oint 闭曲线积分 沿闭合回路积分
∯\oiint 闭曲面积分 对闭合曲面做积分
∑n=1∞\sum_{n=1}^\infty 无穷级数求和

上册入口：高等数学（上）· 从极限到微分方程