本文是 John D. Anderson《Fundamentals of Aerodynamics》（第六版）读书笔记系列的第十篇，覆盖教材第11章「超声速翼型设计」的核心内容。阅读本文前需掌握斜激波与膨胀波（第九讲）。

第十篇：超声速翼型设计——激波-膨胀波理论与超临界翼型

一、超声速翼型与亚声速翼型的根本区别

1.1 概念引入

在亚声速环境下设计翼型时，我们追求薄翼理论中的 $C_l = 2\pi\alpha$ 和低 $C_d$ 。但在超声速环境中，翼型设计的哲学被彻底颠覆了。

根本区别：

特性	亚声速翼型	超声速翼型
前缘形状	圆弧形（半径有限）	尖锐（半径很小）
厚度	中（8-15%）	薄（3-8%）
最大厚度位置	30-50% chord	靠近 50% chord
弯度	有弯度更好	弯度几乎不增加升力
激波系统	无（ $Ma<0.7$ ）	前缘+后缘激波、膨胀波
阻力主要来源	摩擦阻力	波阻（占主导）

1.2 超声速翼型的基本类型

类型	截面形状	特点
菱形（双楔形）	◇	最简单的超声速翼型，解析可解
双弧翼型	╰╮	表面为圆弧形，波阻更低
楔形-平面翼型	∠_	前缘楔形，后缘平直
超临界翼型	上表面平坦、后加载	跨声速设计的里程碑

二、菱形翼型——超声速翼型的最简模型

2.1 激波-膨胀波方法

菱形翼型的超声速绕流可以用激波-膨胀波理论精确分析：

前缘：两道上表面和下表面的斜激波（取决于前缘楔角）
上表面最大厚度处：膨胀波
后缘：另外两道上/下表面的斜激波

2.2 升力与阻力

对于菱形翼型，超声速线化理论给出：

C_l = \frac{4\alpha}{\sqrt{Ma_\infty^2 - 1}}

C_d = \underbrace{\frac{4\alpha^2}{\sqrt{Ma_\infty^2 - 1}}}_{\text{激波诱导分量}} + \underbrace{\frac{4(t/c)^2}{\sqrt{Ma_\infty^2 - 1}}}_{\text{厚度分量}}

其中 $t/c$ 是相对厚度。

重要结论：超声速翼型的阻力由迎角分量和厚度分量组成，两者都正比于 $1/\sqrt{Ma^2-1}$ 。马赫数越高，这两个分量越小。

2.3 手算例子

菱形翼型，相对厚度 $t/c = 0.06$ ， $Ma_\infty = 2.0$ ， $\alpha = 3^\circ$ 。

求 $C_l$ 和 $C_d$ 。

解：

C_l = \frac{4 \times (3\times\pi/180)}{\sqrt{4-1}} = \frac{4 \times 0.0524}{1.732} = \frac{0.209}{1.732} = 0.121

C_d = \frac{4(0.0524)^2}{1.732} + \frac{4(0.06)^2}{1.732} = \frac{0.0110}{1.732} + \frac{0.0144}{1.732} = 0.00635 + 0.00831 = 0.0147

升阻比：

\frac{L}{D} = \frac{C_l}{C_d} = \frac{0.121}{0.0147} \approx 8.2

亚声速飞机巡航时的升阻比可以做到 15-20，而超声速飞行只有 6-10——这是超声速飞行天生的”效率代价”。

三、超临界翼型——跨声速的突破

3.1 跨声速的困境

民航客机巡航在 $Ma = 0.78-0.85$ 的跨声速范围内。这是一个”尴尬”的速度范围：

机翼上表面局部流速已经超过声速（ $Ma > 1$ ）
但来流还是亚声速
上表面的超声速区以激波结束
激波后边界层分离 → 阻力急剧增大（波阻发散）

3.2 Whitcomb 的超临界翼型

NASA 的 Richard Whitcomb 在 1960 年代提出了超临界翼型（Supercritical Airfoil）：

设计理念：让机翼上表面尽可能平坦，延迟激波的出现，减少激波强度。

几何特征：

前缘半径大
上表面平坦（几乎是平的）
后缘急剧加载（camber 的很大部分集中到后缘）
下表面后缘有反凹（cusp）形状

气动效果：

临界马赫数提高约 $0.04-0.06$
即：在同样的 $Ma$ 下，阻力更低
或者在同样的阻力下，巡航速度更高

超临界翼型的出现使波音 767/777、A330/340 等飞机的巡航速度从约 0.78 提高到 0.83-0.85。

3.3 激波控制与激波诱导分离

超临界翼型设计的核心问题之一：控制激波位置和强度。

激波控制技术：

上表面平坦化 → 激波更弱
采用涡流发生器（Vortex Generator）→ 延迟激波后分离
主动激波控制 → 通过吹气/吸气削弱激波

四、超声速与亚声速翼型的统一框架

4.1 马赫数对升力线斜率的影响

把前几讲的结果放在一起看：

$Ma < 0.3$ ： $a_0 = 2\pi$ （不可压缩）
$0.3 < Ma < 0.8$ ： $a_0 = 2\pi/\sqrt{1-Ma^2}$ （Prandtl-Glauert 修正）
$0.8 < Ma < 1.2$ ：跨声速，非线性
$Ma > 1.2$ ： $a_0 = 4/\sqrt{Ma^2-1}$ （线化超声速）

4.2 工程设计中的翼型选择

设计马赫数	推荐翼型类型	典型展弦比
$Ma < 0.3$ （低速）	常规弯翼型（NACA 4/5 位）	6-20
$Ma 0.3-0.6$ （亚声速）	层流翼型（NACA 6 系列）	8-15
$Ma 0.7-0.85$ （跨声速）	超临界翼型	8-12
$Ma 1.2-2.5$ （超声速）	菱形/双弧翼型	2-5
$Ma > 5$ （高超声速）	钝头体/尖楔	1-3

五、完整概念地图

翼型按马赫数分类

[Ma<0.3] 低速弯翼型
├── CL = 2πα (薄翼理论)
├── 低阻力
└── 常规NACA系列

[Ma 0.3-0.8] 亚声速
├── 可压缩修正 PG: a0 = 2π/√(1-Ma²)
├── 层流翼型优势
└── NACA 6系列

[Ma 0.7-1.2] 跨声速 (最复杂)
├── 超临界翼型 (Whitcomb)
├── 上表面平坦 → 延迟激波
├── 激波控制 → 降低波阻
└── 非线性区 (难计算)

[Ma>1.2] 超声速
├── 菱形/双弧翼型
├── 尖锐前缘
├── Cl = 4α/√(Ma²-1)
├── Cd = (4α² + 4(t/c)²)/√(Ma²-1)
└── 低展弦比

六、核心公式速查卡

公式	含义	适用
$C_l = 4\alpha/\sqrt{Ma^2-1}$	超声速升力系数	线化超声速理论
$C_d = \frac{4\alpha^2}{\sqrt{Ma^2-1}} + \frac{4(t/c)^2}{\sqrt{Ma^2-1}}$	超声速阻力系数	菱形翼型
$a_0 = 2\pi/\sqrt{1-Ma^2}$	亚声速可压缩升力线斜率	Prandtl-Glauert
$a_0 = 4/\sqrt{Ma^2-1}$	超声速升力线斜率	线化理论

参考文献

Anderson, J. D. (2010). Fundamentals of Aerodynamics (6th ed., Chapter 11). McGraw-Hill.
Whitcomb, R. T. (1974). “Review of NASA Supercritical Airfoils”. ICAS Paper 74-10.
Whitcomb, R. T., & Clark, L. R. (1965). “An Airfoil Shape for Efficient Flight at Supercritical Mach Numbers”. NASA TM X-1109.
Küchemann, D. (1978). The Aerodynamic Design of Aircraft. Pergamon Press.
Ferri, A. (1949). Elements of Aerodynamics of Supersonic Flows. Macmillan.

下一节：黏流与边界层

从1904年普朗特的革命性概念开始，系统介绍边界层理论——层流/湍流边界层、转捩、分离、壁面摩擦、热传导，以及如何通过边界层控制来改善机翼性能。