本文是 John D. Anderson《Fundamentals of Aerodynamics》（第六版）读书笔记系列的第九篇，覆盖教材第10章「超声速线化理论」的核心内容。阅读本文前需掌握正激波（第八讲）的基本概念。

第九篇：超声速线化理论——从斜激波到普朗特-迈耶膨胀波

一、超声速流动的新物种

1.1 概念引入

当物体以超声速飞行时，它周围的气体行为与亚声速时完全不同：

  • 信息向下游传播（亚声速时信息可以向上游传播）
  • 激波从正前方变成了倾斜的
  • 出现了膨胀波——一种”负激波”
  • 升力和阻力都需要全新的理论框架

1.2 超声速的”信息锥”

在超声速流动中，扰动以声速传播，物体比声速快。因此扰动的传播范围局限在一个圆锥内——马赫锥（Mach Cone）。

马赫锥的半顶角：

μ=arcsin⁡(1Ma) \mu = \arcsin\left(\frac{1}{Ma}\right)
  • Ma=1.2Ma = 1.2：μ=56.4∘\mu = 56.4^\circ——宽锥
  • Ma=2.0Ma = 2.0：μ=30∘\mu = 30^\circ——窄锥
  • Ma=5.0Ma = 5.0：μ=11.5∘\mu = 11.5^\circ——极窄锥

在马赫锥之外的区域，气流完全未受到物体的扰动。

二、斜激波——超声速的”棱镜”

2.1 与正激波的区别

正激波波面垂直于来流，斜激波波面与来流有一个夹角 β\beta（激波角）。

关键参数：

  • β\beta：激波角（激波面与来流方向的夹角）
  • θ\theta：流动偏转角（气流经过激波后改变方向的角度）

2.2 斜激波关系式

通过法向马赫数 Man,1=Ma1sin⁡βMa_{n,1} = Ma_1\sin\beta，斜激波可以用正激波关系式计算：

Man,22=(γ−1)Man,12+22γMan,12−(γ−1) Ma_{n,2}^2 = \frac{(\gamma-1)Ma_{n,1}^2 + 2}{2\gamma Ma_{n,1}^2 - (\gamma-1)}

波后马赫数：

Ma2=Man,2sin⁡(β−θ) Ma_2 = \frac{Ma_{n,2}}{\sin(\beta - \theta)}

2.3 激波角-偏转角关系（θ−β−Ma\theta-\beta-Ma 关系）

tan⁡θ=2cot⁡βMa12sin⁡2β−1Ma12(γ+cos⁡2β)+2 \tan\theta = 2\cot\beta\frac{Ma_1^2\sin^2\beta - 1}{Ma_1^2(\gamma + \cos 2\beta) + 2}

这个关系是超声速空气动力学最重要的图表之一。

重要特性：

对于给定的 Ma1Ma_1 和 β\beta，最多有两个解：

  1. 强激波解（β\beta 大，Ma2Ma_2 小，波后亚声速）
  2. 弱激波解（β\beta 小，Ma2Ma_2 大，波后通常仍超声速）

自然界和工程中几乎总是出现弱激波解，除非专门设计。

2.4 手算例子

Ma1=2.0Ma_1 = 2.0，偏转角 θ=10∘\theta = 10^\circ，求激波角 β\beta。

解：使用 θ−β−Ma\theta-\beta-Ma 关系，γ=1.4\gamma = 1.4：

tan⁡10∘=0.1763 \tan 10^\circ = 0.1763

代入迭代解得 β≈39.3∘\beta \approx 39.3^\circ。

法向马赫数：

Man,1=2.0sin⁡39.3∘=2.0×0.634=1.268 Ma_{n,1} = 2.0\sin 39.3^\circ = 2.0 \times 0.634 = 1.268

波后法向马赫数：

Man,22=0.4×1.2682+22×1.4×1.2682−0.4=0.4×1.608+22.8×1.608−0.4=2.6434.102=0.644 Ma_{n,2}^2 = \frac{0.4 \times 1.268^2 + 2}{2\times 1.4 \times 1.268^2 - 0.4} = \frac{0.4 \times 1.608 + 2}{2.8 \times 1.608 - 0.4} = \frac{2.643}{4.102} = 0.644 Man,2=0.803 Ma_{n,2} = 0.803

波后马赫数：

Ma2=0.803sin⁡(39.3−10)=0.803sin⁡29.3∘=0.8030.489=1.642 Ma_2 = \frac{0.803}{\sin(39.3 - 10)} = \frac{0.803}{\sin 29.3^\circ} = \frac{0.803}{0.489} = 1.642

波后马赫数为 1.642——仍为超声速！这是弱激波解的典型特征。

三、普朗特-迈耶膨胀波——“负激波”

3.1 概念

如果说激波是”压缩”——气流压缩、压力增大、速度下降——那么膨胀波就是激波的逆过程：气流膨胀、压力下降、速度增大。

膨胀波出现在超声速气流转向远离自身的方向时（即凸角或外折）。

3.2 普朗特-迈耶函数

膨胀波的理论由普朗特和迈耶在 1908 年建立。核心是普朗特-迈耶函数 ν(Ma)\nu(Ma)：

ν(Ma)=γ+1γ−1arctan⁡γ−1γ+1(Ma2−1)−arctan⁡Ma2−1 \nu(Ma) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\arctan\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}(Ma^2-1)} - \arctan\sqrt{Ma^2-1}

这个函数定义了从 Ma=1Ma = 1 膨胀到某个 MaMa 时的总偏转角。

ν(Ma)\nu(Ma) 的单调性：随着 MaMa 增大，ν(Ma)\nu(Ma) 单调增大。

3.3 应用

膨胀波的计算步骤：

  1. 已知初始状态 Ma1Ma_1，求 ν1\nu_1
  2. 加上偏转角 Δθ\Delta\theta（凸角为正）：ν2=ν1+Δθ\nu_2 = \nu_1 + \Delta\theta
  3. 用 ν2\nu_2 反解 Ma2Ma_2
  4. 用等熵关系求 p2,T2,ρ2p_2, T_2, \rho_2

四、锥型流——超声速三维流动

4.1 泰勒-麦科尔方法

对于超声速绕圆锥的流动，泰勒和麦科尔（Taylor & Maccoll）在 1933 年给出了近似解。

与二维楔形体的关键区别：

特征 二维楔形体 锥形体
激波形状 直线斜激波 圆锥激波
激波后流态 均匀 非均匀（流线弯曲）
表面压力 常数 从顶点向后降低
计算方法 θ−β−Ma\theta-\beta-Ma 关系 泰勒-麦科尔数值解

五、超声速机翼

5.1 超声速升力与阻力

超声速下机翼的升力和阻力与亚声速有本质不同：

超声速升力系数（薄翼的线化解）：

Cl=4αMa2−1 C_l = \frac{4\alpha}{\sqrt{Ma^2-1}}

注意：超声速升力线斜率不再与 2π2\pi 有关，而是与 4/Ma2−14/\sqrt{Ma^2-1} 有关。Ma=2.0Ma = 2.0 时为 4/3≈2.314/\sqrt{3} \approx 2.31/rad，远小于亚声速的 2π=6.282\pi = 6.28/rad。

超声速阻力：

Cd=Cd,wave+Cd,friction+Cd,induced C_d = C_{d,\text{wave}} + C_{d,\text{friction}} + C_{d,\text{induced}}

其中波阻 Cd,waveC_{d,\text{wave}} 是超声速独有的：它来自激波造成的不可逆熵增。

波阻系数（线化解）：

Cd,wave=4α2Ma2−1 C_{d,\text{wave}} = \frac{4\alpha^2}{\sqrt{Ma^2-1}}

5.2 面积法则

Whitcomb 的面积法则（1952年）：跨声速飞行器的阻力最小化条件是飞行器横截面积沿纵轴的变化是一个光滑的 Sears-Haack 分布。

即：787 客机和协和号在机身中部”收缩”的腰线设计，不是因为美观，而是为了降低波阻！

六、完整概念地图

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超声速流动特性
├── 马赫锥 μ = arcsin(1/Ma)
├── 信息只能向下游传播
└── 激波/膨胀波体系

斜激波
├── θ-β-Ma 关系
├── 弱解 (超声速波后) vs 强解 (亚声速波后)
└── 法向分量用正激波公式

膨胀波
├── 凸角处出现
├── 加速+膨胀+降温
└── 普朗特-迈耶函数 ν(Ma)

锥型流
├── 与二维楔形体不同
├── 泰勒-麦科尔方程
└── 非均匀流场

超声速机翼
├── Cl = 4α/√(Ma²-1)
├── 波阻 Cd,wave = 4α²/√(Ma²-1)
└── 面积法则

七、核心公式速查卡

公式 含义
μ=arcsin⁡(1/Ma)\mu = \arcsin(1/Ma) 马赫锥半顶角
Man,1=Ma1sin⁡βMa_{n,1} = Ma_1\sin\beta 斜激波法向分量
tan⁡θ=f(Ma1,β)\tan\theta = f(Ma_1,\beta) θ−β−Ma\theta-\beta-Ma 关系
ν(Ma)\nu(Ma) 普朗特-迈耶函数
Cl=4α/Ma2−1C_l = 4\alpha/\sqrt{Ma^2-1} 超声速升力线斜率
Cd,wave=4α2/Ma2−1C_{d,\text{wave}} = 4\alpha^2/\sqrt{Ma^2-1} 超声速波阻

参考文献

  1. Anderson, J. D. (2010). Fundamentals of Aerodynamics (6th ed., Chapter 10). McGraw-Hill.
  2. Taylor, G. I., & Maccoll, J. W. (1933). “The Air Pressure on a Cone Moving at High Speeds”. Proceedings of the Royal Society A, 139(838), 278-311.
  3. Liepmann, H. W., & Roshko, A. (1957). Elements of Gasdynamics. Dover.
  4. Ferri, A. (1949). Elements of Aerodynamics of Supersonic Flows. Macmillan.
  5. Whitcomb, R. T. (1952). “A Study of the Zero-Lift Drag-Rise Characteristics of Wing-Body Combinations Near the Speed of Sound”. NACA RM L52H08.

下一节：超声速翼型设计

激波-膨胀波理论在翼型设计中的应用，超临界翼型、菱形翼型、双弧翼型的设计理念，以及如何平衡超声速性能和跨声速巡航效率。