本文是 Stevens《Aircraft Control and Simulation》读书笔记系列的第四篇，覆盖教材第3-4章的状态空间控制器设计部分。阅读本文前需掌握状态空间方程 x˙=Ax+Bu\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} 和第二篇中的模态分析。如果你学过微分方程第四篇中的李雅普诺夫稳定性，那更好。

第四篇：状态空间控制器设计——从PID走向现代控制

一、概念引入——为什么要从PID升级？

第三篇中我们讨论了串级PID的局限性。当飞行器面临以下场景时，PID显得力不从心：

  1. 强耦合：固定翼的荷兰滚（偏航和滚转的耦合振荡）——PID各自独立地控制副翼和方向舵，但问题是它们本身就是耦合的
  2. 变参数：高速四旋翼截击机从低速悬停到高速前飞时，气动导数变化数倍——固定增益的PID无法适应
  3. 多变量：12状态系统，4个控制输入——PID把每个回路独立考虑，忽略了状态间的相互作用

状态空间控制器设计直接处理上述问题。

二、状态反馈控制

2.1 基本结构

第一篇的线性化状态空间方程：

x˙=Ax+Bu \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u}

如果我们能测量（或估计）所有状态 x\mathbf{x}，那最自然的控制律就是状态反馈：

u=−Kx+r \mathbf{u} = -\mathbf{K}\mathbf{x} + \mathbf{r}

其中 K\mathbf{K} 是增益矩阵，r\mathbf{r} 是参考输入。

代入系统：

x˙=(A−BK)x+Br \dot{\mathbf{x}} = (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K})\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{r}

关键：闭环系统的动态特性由 (A−BK)(\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}) 的特征值决定——我们可以通过选择 K\mathbf{K} 来任意配置这些特征值（前提是系统可控）。

2.2 极点配置

在 Stevens 教材中，极点配置是最直接的状态反馈设计方法：

  1. 确定期望的闭环极点（来自第二篇的模态要求）
  2. 计算 K\mathbf{K} 使得 (A−BK)(\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}) 的特征值等于期望值

单输入系统的阿克曼公式：

K=[0,0,…,1]C−1ϕd(A) \mathbf{K} = [0, 0, \dots, 1] \mathcal{C}^{-1} \phi_d(\mathbf{A})

其中 C=[B AB ⋯ An−1B]\mathcal{C} = [\mathbf{B} \ \mathbf{AB} \ \cdots \ \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}] 是可控性矩阵，ϕd(A)\phi_d(\mathbf{A}) 是期望特征多项式在 A\mathbf{A} 处的值。

多输入系统：需要数值方法（如穆尔-彭罗斯伪逆、特征结构配置）。

2.3 手算例子：横航向系统极点配置（简化）

简化横航向系统（只考虑滚转通道）：

p˙=Lpp+Lδaδa \dot{p} = L_p p + L_{\delta_a} \delta_a

状态空间形式：A=LpA = L_p（标量!），B=LδaB = L_{\delta_a}。

期望闭环极点：λd=−4\lambda_d = -4（时间常数 0.25s）。

控制律：δa=−Kpp\delta_a = -K_p p

闭环系统：p˙=(Lp−LδaKp)p\dot{p} = (L_p - L_{\delta_a} K_p)p，特征值 λ=Lp−LδaKp\lambda = L_p - L_{\delta_a} K_p

设 λd=−4\lambda_d = -4，则：

Kp=Lp+4Lδa K_p = \frac{L_p + 4}{L_{\delta_a}}

这就是”滚转速率反馈 = 滚转阻尼增强”——你的 PID 文章中 DrateD_{\text{rate}} 的角色。

三、LQR 控制器

3.1 优化目标

极点配置需要设计者指定”期望极点位置”——但在这之前需要知道哪些位置是好的。LQR（线性二次型调节器）直接回答这个问题：在响应速度和输入能量之间取最优折中。

LQR 最小化目标函数：

J=∫0∞(xTQx+uTRu) dt J = \int_0^\infty (\mathbf{x}^T \mathbf{Q} \mathbf{x} + \mathbf{u}^T \mathbf{R} \mathbf{u})\,dt

其中：

  • Q\mathbf{Q} — 状态加权矩阵（大 Q\mathbf{Q} = 要求状态快速收敛）
  • R\mathbf{R} — 输入加权矩阵（大 R\mathbf{R} = 控制动作要温和）

3.2 黎卡提方程

LQR 增益的最优值由代数黎卡提方程（ARE）给出：

ATP+PA−PBR−1BTP+Q=0 \mathbf{A}^T \mathbf{P} + \mathbf{P}\mathbf{A} - \mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^T\mathbf{P} + \mathbf{Q} = 0

解出 P≥0\mathbf{P} \ge 0 后：

K=R−1BTP \mathbf{K} = \mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^T \mathbf{P}

3.3 手算例子：单积分器

x˙=u\dot{x} = u（A=0,B=1A=0, B=1），Q=q\mathbf{Q}=q，R=r\mathbf{R}=r

ARE: 0+0−P⋅1⋅1/r⋅P+q=0⇒P2/r=q⇒P=qr0 + 0 - P \cdot 1 \cdot 1/r \cdot P + q = 0 \Rightarrow P^2/r = q \Rightarrow P = \sqrt{qr}

增益：K=r−1⋅1⋅qr=q/rK = r^{-1} \cdot 1 \cdot \sqrt{qr} = \sqrt{q/r}

闭环极点：λ=−K=−q/r\lambda = -K = -\sqrt{q/r}

q/rq/r 越大 → KK 越大 → 极点越负 → 响应越快但输入更大。

四、状态观测器——当不能测量所有状态时

4.1 问题

状态反馈要求知道所有12个状态，但现实中你只能通过传感器测量其中一部分：

  • IMU：p,q,rp, q, r（角速度），ϕ,θ\phi, \theta（通过加速度融合）
  • GPS/光流：PN,PE,PDP_N, P_E, P_D（位置），u,v,wu, v, w（通过融合）
  • 气压计：PDP_D（高度）

风速本身（α,β\alpha, \beta）是不可直接测量的——只能通过IMU和GPS的融合来估计。

4.2 龙伯格观测器

观测器用系统模型和可测量输出来估计全部状态：

x^˙=Ax^+Bu+L(y−Cx^) \dot{\hat{\mathbf{x}}} = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}} + \mathbf{B}\mathbf{u} + \mathbf{L}(\mathbf{y} - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}})

其中 L\mathbf{L} 是观测器增益，y=Cx\mathbf{y} = \mathbf{C}\mathbf{x} 是可测量输出。

观测器的误差动态：

e˙=(A−LC)e \dot{\mathbf{e}} = (\mathbf{A} - \mathbf{L}\mathbf{C})\mathbf{e}

其中 e=x−x^\mathbf{e} = \mathbf{x} - \hat{\mathbf{x}}。类似地，(A−LC)(\mathbf{A} - \mathbf{L}\mathbf{C}) 的特征值决定了观测器的收敛速度。

分离原理：观测器设计和控制器设计可以独立进行——控制器的 K\mathbf{K} 和观测器的 L\mathbf{L} 由两套不同的极点配置确定。

五、从状态空间回到PID的视角

Stevens 教材给出了一个深刻观点：串级PID实际上是状态空间控制器的一个特例。

  • 速率环：p→δap \to \delta_a — 相当于状态反馈 KpK_p 驱动所有状态
  • 姿态环：(ϕd−ϕ)→pd→δa(\phi_d - \phi) \to p_d \to \delta_a — 相当于级联的积分器+状态反馈

在现代飞控中，PX4 正在从纯 PID 向基于模型的控制演进——使用更完整的状态估计和状态反馈设计。

六、核心公式速查卡

公式 含义
u=−Kx+r\mathbf{u} = -\mathbf{K}\mathbf{x} + \mathbf{r} 状态反馈控制律
x^˙=Ax^+Bu+L(y−Cx^)\dot{\hat{\mathbf{x}}} = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}(\mathbf{y}-\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}) 龙伯格观测器
ATP+PA−PBR−1BTP+Q=0\mathbf{A}^T\mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}-\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^T\mathbf{P}+\mathbf{Q}=0 代数黎卡提方程
K=R−1BTP\mathbf{K} = \mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^T\mathbf{P} LQR最优增益
(A−BK)(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}) 特征值 = 闭环模态 极点配置

参考文献

  1. Stevens, B. L., Lewis, F. L., & Johnson, E. N. (2015). Aircraft Control and Simulation (3rd ed., Chapter 3-4). Wiley.
  2. Kalman, R. E. (1960). “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”. Journal of Basic Engineering, 82(1), 35-45.
  3. Bryson, A. E., & Ho, Y. C. (1975). Applied Optimal Control. Taylor & Francis.
  4. Åström, K. J., & Murray, R. M. (2010). Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press.

下一节：制导律与轨迹跟踪

从平面几何制导到三维航迹跟踪：比例导引法（PN）、视线制导（LOS）、航点跟随——截击机核心制导算法的理论来源。