本文是 Stevens《Aircraft Control and Simulation》读书笔记系列的第五篇，覆盖教材第5章的制导律与轨迹跟踪部分。这是连接”飞控”和”任务”的桥梁——给定一个目标位置或目标轨迹，飞控如何产生参考指令？

第五篇：制导律与轨迹跟踪——从纯追踪到比例导引

一、概念引入——“往哪飞”的问题

1.1 三层结构

完整的飞控系统从任务到执行分为三层：

1 2	任务规划 ──→ 制导律 (Guidance) ──→ 飞行控制 ──→ 执行机构 (飞哪) (飞控指令) (内环控制)

你之前写的截击机核心算法文章就涉及制导律——但那是工程实现视角。Stevens教材第5章提供了制导律的完整理论体系。

1.2 历史的五分钟

时间	人物	贡献
1940s	二战末期	纯追踪法——最早的制导律（德国V1飞弹）
1943	比例导引法发明	美国海军研究实验室提出PN制导
1960s	线性化制导理论	将制导问题纳入控制理论的框架
1980s	增广比例导引	APN（考虑目标加速度的扩展版本）
2000s	模型预测控制	在线轨迹优化

二、三种基本制导方法

2.1 纯追踪法（Pure Pursuit）

原理：飞行器始终指向目标的当前位置。

数学表达：

\mathbf{a}_c = \lambda \mathbf{v}_r \times \boldsymbol{\omega}_L

其中 $\boldsymbol{\omega}_L$ 是视线角速率， $\lambda$ 是导航常数。

特性：

简单易实现
如果目标静止，最终会直接撞向目标
如果目标运动，从尾部追击效率最高、从侧面追击会绕大圈

缺点是：从侧面追击时会产生很大的过载需求——飞行器需要急转向。

原理：飞行器的航向变化率与视线角速率成正比。

基本公式：

\dot{\chi}_c = N \dot{\lambda}

其中：

$\dot{\chi}_c$ — 期望的航向变化率
$\dot{\lambda}$ — 视线角速率（LOS rate）
$N$ — 导航常数（通常 $3 \le N \le 5$ ）

加速度指令形式：

\mathbf{a}_c = N \mathbf{V} \times \boldsymbol{\omega}_L

其中 $\mathbf{V}$ 是飞行器速度矢量， $\boldsymbol{\omega}_L$ 是视线角速度矢量。

为什么PN有效？ 当 $N > 2$ 时，视线角速率被减为零——飞行器进入恒方向接近目标的平行接近状态。

2.3 增广比例导引（APN）

当目标有机动能力时，PN的命中率下降。APN在PN的基础上加入了目标加速度估计：

\mathbf{a}_c = N \mathbf{V} \times \boldsymbol{\omega}_L + \frac{N}{2}\mathbf{a}_T

其中 $\mathbf{a}_T$ 是目标加速度估计。

三、导航常数 N 的选择

$N$	特性	适用场景
2	临界值，视线角速率保持不变	理论下限
3	经典选择，对匀速目标有最优性能	大多数应用
4-5	更敏感于视线角变化	高速机动目标
$>$ 5	对测量噪声过于敏感	不建议

3.1 手算例子

一架截击机以 $V = 120\ \text{m/s}$ 飞行，视线角速率 $\dot{\lambda} = 0.5\ \text{rad/s}$ 。

求：使用 $N=4$ 的PN制导所需加速度。

解：

a_c = N \cdot V \cdot \dot{\lambda} = 4 \times 120 \times 0.5 = 240\ \text{m/s}^2 \approx 24.5\ \text{g}

24.5 g 的机动需求——远超过大多数无人机的机动能力（一般 < 5 g）！

这说明：PN制导律的加速度需求取决于速度和视线角速率。如果截击机的速度远快于目标，即使很小的视线角速率也会产生大加速度——这就是为什么截击机的速度匹配很重要。

四、航点轨迹跟踪

4.1 直线航段跟踪

对于自动驾驶中最常见的”从一个航点到下一个航点”，Stevens 推荐使用向量场制导法（Vector Field Guidance）：

\chi_c = \chi_\infty + (\chi_0 - \chi_\infty)e^{-K d}

其中：

$\chi_\infty$ — 沿期望路径的航向
$\chi_0$ — 垂直指向路径的方向
$d$ — 与期望路径的横向偏差
$K$ — 收敛速率

物理直觉：当误差大时，直接指向路径；当接近路径时，平滑地转为沿路径方向。

4.2 圆弧轨迹跟踪

对于盘旋或转弯，PN的原则可以推广到圆弧轨迹：

\dot{\chi}_c = N \dot{\lambda} + \frac{V}{R} \cos(\chi - \chi_t)

其中 $R$ 是期望转弯半径， $\chi_t$ 是切线方向。

五、制导律与飞控的接口

5.1 制导→飞控的信号

制导律的输出是参考指令，作为第三篇中串级PID的外环输入：

制导律输出	对应的飞控环层
$\chi_c$ （期望航向）	姿态环
$a_c$ （期望加速度）	速度环（转化为姿态指令）
$h_c$ （期望高度）	位置环

四旋翼中典型的映射关系：

\phi_c = \text{atan2}(a_{c,y}, g), \quad \theta_c = \text{atan2}(a_{c,x}, g)

即制导律输出的横向加速度被转化为期望的滚转角和俯仰角——这正是你PID调参文章中外环和姿态环的接口。

六、核心公式速查卡

公式	方法	含义
$\dot{\chi}_c = N\dot{\lambda}$	比例导引	航向率∝视线角速率
$\mathbf{a}_c = N\mathbf{V}\times\boldsymbol{\omega}_L$	比例导引加速度	加速度指令
$\mathbf{a}_c = N\mathbf{V}\times\boldsymbol{\omega}_L + \frac{N}{2}\mathbf{a}_T$	增广比例导引	考虑目标机动
$\chi_c = \chi_\infty + (\chi_0-\chi_\infty)e^{-Kd}$	向量场制导	航点轨迹跟踪
$\phi_c = \text{atan2}(a_{c,y}, g)$	制导→飞控	加速度→滚转角

参考文献

Stevens, B. L., Lewis, F. L., & Johnson, E. N. (2015). Aircraft Control and Simulation (3rd ed., Chapter 5). Wiley.
Zarchan, P. (2012). Tactical and Strategic Missile Guidance (6th ed.). AIAA.
Nelson, R. C. (1998). Flight Stability and Automatic Control (2nd ed., Chapter 6). McGraw-Hill.
Beard, R. W., & McLain, T. W. (2012). Small Unmanned Aircraft: Theory and Practice (Chapter 7). Princeton University Press. — 纯追踪和向量场制导的经典参考

下一节：数字实现与硬件在环仿真

从连续域到离散域：采样、零阶保持、数字PID实现、离散时间状态空间——以及如何将Stevens教材中的理论与HITL仿真和PX4代码对应。

Stevens《飞行器控制与仿真》读书笔记（五）：制导律与轨迹跟踪——从纯追踪到比例导引