本文是《复变函数完全入门》系列的第五篇（完结篇），覆盖复势的概念、用复变函数描述基本势流解、圆柱绕流的复势形式和儒科夫斯基翼型的完全解。本文串联起前三篇的所有数学工具——将它们应用到空气动力学势流理论的实际问题中。

第五篇：复变函数在空气动力学中的应用——复势与翼型绕流

一、复势——统一描述二维势流

1.1 概念引入

在第二篇中我们学过：任意解析函数 f(z)=ϕ+iψf(z) = \phi + i\psi 的实部和虚部都是调和函数——即满足拉普拉斯方程。

在空气动力学中：

  • ϕ\phi = 速度势
  • ψ\psi = 流函数
  • f(z)=ϕ+iψf(z) = \phi + i\psi 称为**复势**（Complex Potential）

所以：每一个解析函数对应一种可能的二维不可压缩无旋流动。

1.2 从复势得到流场信息

速度场从复势的导数获得——复速度：

dfdz=∂ϕ∂x+i∂ψ∂x=u−iv \frac{df}{dz} = \frac{\partial\phi}{\partial x} + i\frac{\partial\psi}{\partial x} = u - iv

模长：

∣dfdz∣=∣V∣ \left|\frac{df}{dz}\right| = |\mathbf{V}|

二、基本流动解的复势形式

2.1 均匀流

复势：

f(z)=V∞z=V∞(x+iy) f(z) = V_\infty z = V_\infty(x + iy)

实部和虚部：

ϕ=V∞x,ψ=V∞y \phi = V_\infty x, \quad \psi = V_\infty y

→ 与第二讲 Anderson 笔记中的 ϕ=V∞x\phi = V_\infty x 一致。

2.2 源流与汇流

复势：

f(z)=Λ2πln⁡z f(z) = \frac{\Lambda}{2\pi}\ln z

记 z=reiθz = re^{i\theta}，ln⁡z=ln⁡r+iθ\ln z = \ln r + i\theta：

f(z)=Λ2π(ln⁡r+iθ) f(z) = \frac{\Lambda}{2\pi}(\ln r + i\theta)

所以：

ϕ=Λ2πln⁡r,ψ=Λ2πθ \phi = \frac{\Lambda}{2\pi}\ln r, \quad \psi = \frac{\Lambda}{2\pi}\theta

→ 与 Anderson 的 ϕ=(Λ/2π)ln⁡r\phi = (\Lambda/2\pi)\ln r 完全一致。

2.3 偶极子

复势：

f(z)=μ2πz f(z) = \frac{\mu}{2\pi z}

写成极坐标 z=reiθz = re^{i\theta}，1/z=e−iθ/r=(cos⁡θ−isin⁡θ)/r1/z = e^{-i\theta}/r = (\cos\theta - i\sin\theta)/r：

f(z)=μ2πr(cos⁡θ−isin⁡θ) f(z) = \frac{\mu}{2\pi r}(\cos\theta - i\sin\theta) ϕ=μ2πcos⁡θr,ψ=−μ2πsin⁡θr \phi = \frac{\mu}{2\pi}\frac{\cos\theta}{r}, \quad \psi = -\frac{\mu}{2\pi}\frac{\sin\theta}{r}

→ 与 Anderson 的 ϕ=μcos⁡θ/(2πr)\phi = \mu\cos\theta/(2\pi r) 一致。

2.4 点涡

复势：

f(z)=Γ2πiln⁡z=−iΓ2πln⁡z f(z) = \frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z = -i\frac{\Gamma}{2\pi}\ln z f(z)=Γ2π(θ−iln⁡r) f(z) = \frac{\Gamma}{2\pi}(\theta - i\ln r)

所以：

ϕ=Γ2πθ,ψ=−Γ2πln⁡r \phi = \frac{\Gamma}{2\pi}\theta, \quad \psi = -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r

注意复势的简洁性：四种基本解在实变写法中各需要分别推导 ϕ\phi 和 ψ\psi 两个函数。而复变写法只需要一个函数 f(z)f(z)。

基本解 实变形式的两个函数 复变写法的单个函数
均匀流 ϕ=V∞x\phi = V_\infty x, ψ=V∞y\psi = V_\infty y f(z)=V∞zf(z) = V_\infty z
源 ϕ=Λ2πln⁡r\phi = \frac{\Lambda}{2\pi}\ln r, ψ=Λ2πθ\psi = \frac{\Lambda}{2\pi}\theta f(z)=Λ2πln⁡zf(z) = \frac{\Lambda}{2\pi}\ln z
偶极子 ϕ=μ2πcos⁡θr\phi = \frac{\mu}{2\pi}\frac{\cos\theta}{r}, ψ=−μ2πsin⁡θr\psi = -\frac{\mu}{2\pi}\frac{\sin\theta}{r} f(z)=μ2πzf(z) = \frac{\mu}{2\pi z}
点涡 ϕ=Γ2πθ\phi = \frac{\Gamma}{2\pi}\theta, ψ=−Γ2πln⁡r\psi = -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r f(z)=Γ2πiln⁡zf(z) = \frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z

三、圆柱绕流的复势——升力的诞生

3.1 无环量圆柱绕流

叠加均匀流 + 偶极子（μ=2πV∞R2\mu = 2\pi V_\infty R^2）：

f(z)=V∞z+V∞R2z f(z) = V_\infty z + \frac{V_\infty R^2}{z}

在圆柱表面 z=Reiθz = Re^{i\theta} 上验证：

f(Reiθ)=V∞Reiθ+V∞Re−iθ=2V∞Rcos⁡θ f(Re^{i\theta}) = V_\infty Re^{i\theta} + V_\infty Re^{-i\theta} = 2V_\infty R\cos\theta

这是一个实数→意味着 ψ=0\psi = 0→圆柱表面是流线 ✓

3.2 带环量的圆柱绕流

再加一个点涡：

f(z)=V∞z+V∞R2z+Γ2πiln⁡z f(z) = V_\infty z + \frac{V_\infty R^2}{z} + \frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z

速度场由 df/dzdf/dz 得到：

dfdz=V∞−V∞R2z2+Γ2πiz \frac{df}{dz} = V_\infty - \frac{V_\infty R^2}{z^2} + \frac{\Gamma}{2\pi i z}

在圆柱表面 z=Reiθz = Re^{i\theta}：

dfdz=V∞(1−e−2iθ)+Γ2πiRe−iθ \frac{df}{dz} = V_\infty(1 - e^{-2i\theta}) + \frac{\Gamma}{2\pi i R}e^{-i\theta}

模长为：

∣V∣=∣−2iV∞e−iθsin⁡θ+Γ2πRe−iθ∣=∣2V∞sin⁡θ−Γ2πR∣ |V| = \left|-2iV_\infty e^{-i\theta}\sin\theta + \frac{\Gamma}{2\pi R} e^{-i\theta}\right| = \left|2V_\infty\sin\theta - \frac{\Gamma}{2\pi R}\right|

这与 Anderson 的 Vθ=−2V∞sin⁡θ−Γ/(2πR)V_\theta = -2V_\infty\sin\theta - \Gamma/(2\pi R) 一致。

3.3 关于环量的积分为升力

使用留数定理计算作用在圆柱上的力：

Fx−iFy=iρ2∮C(dfdz)2dz F_x - iF_y = \frac{i\rho}{2}\oint_C \left(\frac{df}{dz}\right)^2 dz

这是布拉休斯定理（Blasius Theorem）——用复变方法计算物体所受的流体力。

代入 df/dzdf/dz 并计算留数：

Fx−iFy=iρV∞Γ F_x - iF_y = i\rho V_\infty \Gamma

所以：

  • 阻力 Fx=0F_x = 0（达朗贝尔佯谬）
  • 升力 Fy=ρV∞ΓF_y = \rho V_\infty \Gamma（库塔-儒科夫斯基定理）

四、儒科夫斯基翼型的完全解

4.1 映射步骤

  1. 在 ζ\zeta 平面上取一个圆心在 (−μ,0)(-\mu, 0)，半径 R=c+δR = c + \delta 的圆
  2. 外加均匀来流（迎角 α\alpha）和点涡（环量 Γ\Gamma）
  3. 用儒科夫斯基变换 z=ζ+c2/ζz = \zeta + c^2/\zeta 映射到物理平面

4.2 复势的完全表达式

在 ζ\zeta 平面上：

F(ζ)=V∞[e−iαζ+R2eiαζ−ζ0]+Γ2πiln⁡(ζ−ζ0) F(\zeta) = V_\infty\left[e^{-i\alpha}\zeta + \frac{R^2 e^{i\alpha}}{\zeta - \zeta_0}\right] + \frac{\Gamma}{2\pi i}\ln(\zeta - \zeta_0)

其中 ζ0\zeta_0 是圆心位置。

在物理平面 zz 上：

f(z)=F(ζ(z)) f(z) = F(\zeta(z))

其中 ζ(z)\zeta(z) 是儒科夫斯基变换的逆变换。

4.3 升力系数

由库塔条件确定环量后：

Cl=2π(1+δc)sin⁡(α+β)+2πsin⁡β C_l = 2\pi\left(1 + \frac{\delta}{c}\right)\sin(\alpha + \beta) + 2\pi\sin\beta

对于薄翼型（δ≪c\delta \ll c，β\beta 小），还原为：

Cl=2π(α−αL=0) C_l = 2\pi(\alpha - \alpha_{L=0})

这正是薄翼理论的核心结果。

五、复变方法的主要步骤总结

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势流问题 → 复势 φ+iψ → 复变函数 f(z)
                            │
                            ├── 复速度 df/dz = u - iv
                            ├── 边界条件 f(z) = const 在壁面上
                            ├── 叠加原理 f(z) = Σ f_i(z)
                            │
                            └── 保角变换：从圆到翼型
                                 → 翼型绕流的精确解
                                 → 升力系数、压力分布

六、核心公式速查卡

公式 含义
f(z)=ϕ+iψf(z) = \phi + i\psi 复势
df/dz=u−ivdf/dz = u - iv 复速度
f(z)=V∞z+V∞R2/z+(Γ/2πi)ln⁡zf(z) = V_\infty z + V_\infty R^2/z + (\Gamma/2\pi i)\ln z 带环量圆柱绕流复势
Fx−iFy=iρ2∮(df/dz)2dzF_x - iF_y = \frac{i\rho}{2}\oint(df/dz)^2 dz Blasius 力公式
L=ρV∞ΓL = \rho V_\infty \Gamma 库塔-儒科夫斯基定理
z=ζ+c2/ζz = \zeta + c^2/\zeta 儒科夫斯基变换

参考文献

  1. Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2013). Complex Variables and Applications (9th ed., Chapter 8, 10). McGraw-Hill.
  2. Anderson, J. D. (2010). Fundamentals of Aerodynamics (6th ed., Chapter 3-5). McGraw-Hill.
  3. Milne-Thomson, L. M. (1996). Theoretical Hydrodynamics (5th ed., Chapter 9-10). Dover.
  4. Batchelor, G. K. (2000). An Introduction to Fluid Dynamics (Chapter 6). Cambridge University Press.
  5. Blasius, H. (1910). “Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung”. — 布拉休斯定理的原始工作

复变函数完全入门系列（共5篇）全篇完结

本系列从复数的定义出发，经过解析函数、复积分与留数定理、保角变换，最终回到空气动力学中的翼型绕流问题。复变函数是连接数学与工程的完美语言。