本文是《复变函数完全入门》系列的第二篇，覆盖解析函数的定义、柯西-黎曼方程、初等解析函数和调和函数。阅读本文前需熟悉复数的极坐标表示和欧拉公式。

第二篇：解析函数与柯西-黎曼方程——复可微的苛刻条件

一、概念引入——复变函数是什么

1.1 定义

一个复变函数 w=f(z)w = f(z) 将一个复数 z=x+iyz = x + iy 映射到另一个复数 w=u+ivw = u + iv。

f(z)=u(x,y)+i v(x,y) f(z) = u(x,y) + i\,v(x,y)

其中 u(x,y)u(x,y) 和 v(x,y)v(x,y) 都是实函数。从几何上看，复变函数就是一个从 C\mathbb{C} 到 C\mathbb{C} 的映射——把复平面上的点搬到另一个复平面上。

最简单的例子：f(z)=z2f(z) = z^2。

令 z=x+iyz = x + iy：

f(z)=(x+iy)2=x2−y2+i(2xy) f(z) = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)

所以 u(x,y)=x2−y2u(x,y) = x^2 - y^2，v(x,y)=2xyv(x,y) = 2xy。

1.2 历史的5分钟

时间 人物 贡献
1752 达朗贝尔（d’Alembert） 在流体力学研究中首次遇到了后来被称为CR方程的关系
1814 柯西（Cauchy） 系统建立了复变函数的微积分理论
1851 黎曼（Riemann） 博士论文——建立了几何化的复变函数论，将CR方程置于核心
1851 黎曼 提出黎曼曲面——将多值函数变成单值函数的几何工具
1884 魏尔斯特拉斯（Weierstrass） 用幂级数方法建立了复变函数的另一套基础

二、复导数与柯西-黎曼方程

2.1 复导数的定义

复变函数 f(z)f(z) 在 z0z_0 处的导数定义为：

f′(z0)=lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}

形式上与实变函数的导数定义完全相同。但有一个关键区别：

在实函数中，Δx→0\Delta x \to 0 只有两个方向（左和右）。
在复函数中，Δz→0\Delta z \to 0 可以有无穷多个方向——从四面八方逼近 z0z_0。
如果导数存在，所有方向的极限必须相等。

这个条件极其苛刻——大多数初看合理的复变函数，其实都不可微。

2.2 柯西-黎曼方程

设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x,y) + i v(x,y)。如果 ff 在 z0z_0 处可微，那么必须满足：

∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x \boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}}

这就是柯西-黎曼方程（简称 CR 方程）。

证明思路：让 Δz\Delta z 沿实轴方向（Δz=Δx\Delta z = \Delta x）和沿虚轴方向（Δz=iΔy\Delta z = i\Delta y）分别趋近于0，两个极限结果必须相等。

2.3 手算验证

例 1：f(z)=z2=(x2−y2)+i(2xy)f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)

u=x2−y2u = x^2 - y^2，v=2xyv = 2xy ∂u∂x=2x,∂v∂y=2x✓ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x ✓ ∂u∂y=−2y,∂v∂x=2y✓ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y ✓

满足 CR 方程→可微。导数 f′(z)=2zf'(z) = 2z。

例 2：f(z)=zˉ=x−iyf(z) = \bar{z} = x - iy

u=xu = x，v=−yv = -y ∂u∂x=1,∂v∂y=−1≠1✗ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1 \neq 1 ✗

不满足 CR 方程→不可微。

这个结果令人深思：f(z)=zˉf(z) = \bar{z} 是连续函数，但不可微。 在复分析中，”处处连续但处处不可微”的函数比比皆是——比实分析严格得多。

2.4 极坐标的 CR 方程

在极坐标 z=reiθz = re^{i\theta} 下，CR 方程变为：

∂u∂r=1r∂v∂θ,∂v∂r=−1r∂u∂θ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}

这个形式在后续保角变换中更常用。

三、解析函数——复变函数的”好”函数

3.1 定义

如果 f(z)f(z) 在 z0z_0 的某个邻域内处处可微，则称 f(z)f(z) 在 z0z_0 处解析（analytic，也称全纯 holomorphic）。

3.2 常见的解析函数

函数 表达式 有效区域 在空气动力学中的意义
幂函数 znz^n 全平面 基本流动解
指数函数 ez=ex(cos⁡y+isin⁡y)e^z = e^x(\cos y + i\sin y) 全平面 儒科夫斯基变换的组成
对数函数 ln⁡z=ln⁡r+iθ\ln z = \ln r + i\theta C∖{负实轴}\mathbb{C}\setminus\{负实轴\} 源流的速度势！
三角函数 sin⁡z,cos⁡z\sin z, \cos z 全平面 保角变换中的工具

3.3 非解析函数的例子

函数 为什么非解析
zˉ\bar{z} 不满足 CR 方程
∣z∣|z| 实部（模长）本身不是解析函数
Re(z)\text{Re}(z) 虚部为零→不满足 CR 方程

3.4 解析函数的重要性质

  1. 无穷次可微：解析函数不仅一阶可微，而且是任意阶可微的（实变函数没有这个性质）
  2. 幂级数展开：解析函数可以展开为泰勒级数
  3. 保角性：解析函数的映射在 f′(z)≠0f'(z) \neq 0 处是保角的——这就是保角变换的理论基础

四、调和函数——复变函数与势流的桥梁

4.1 定义

一个实函数 ϕ(x,y)\phi(x,y) 如果满足拉普拉斯方程：

∇2ϕ=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2=0 \nabla^2\phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} = 0

则称为调和函数（harmonic function）。

4.2 定理：解析函数的实部和虚部都是调和函数

对解析函数 f(z)=u+ivf(z) = u + iv，由 CR 方程可推出：

∂2u∂x2+∂2u∂y2=0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 ∂2v∂x2+∂2v∂y2=0 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 uu 和 vv 都是调和函数，且称为**共轭调和函数**（conjugate harmonic functions）。

4.3 与势流理论的联系

速度势 ϕ\phi 和流函数 ψ\psi 正是共轭调和函数！

在第二篇 Anderson 笔记中我们学过：

  • ϕ=const\phi = \text{const} 是等势线
  • ψ=const\psi = \text{const} 是流线
  • ∇ϕ⊥∇ψ\nabla\phi \perp \nabla\psi（等势线垂直于流线）

而解析函数的实部和虚部的梯度正交——uu 和 vv 的等值线也相互垂直。这正是速度势和流函数的关系。

因此：任何一个解析函数 f(z)=ϕ+iψf(z) = \phi + i\psi 都对应一个可能的不可压缩无旋流动！

这个洞察是势流理论和保角变换之间的数学桥梁——实际上，复变函数 ϕ(z)=U∞z+Γ2πiln⁡z\phi(z) = U_\infty z + \frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z 就完整描述了一个”来流+点涡”的流场。

五、核心公式速查卡

公式 含义
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 复变函数的一般形式
∂u/∂x=∂v/∂y\partial u/\partial x = \partial v/\partial y CR方程（1）
∂u/∂y=−∂v/∂x\partial u/\partial y = -\partial v/\partial x CR方程（2）
∂u/∂r=(1/r)∂v/∂θ\partial u/\partial r = (1/r)\partial v/\partial\theta 极坐标CR方程
f(z)=ϕ+iψf(z) = \phi + i\psi，∇2ϕ=0\nabla^2\phi=0，∇2ψ=0\nabla^2\psi=0 解析函数→势流

参考文献

  1. Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2013). Complex Variables and Applications (9th ed., Chapter 2-3). McGraw-Hill.
  2. Needham, T. (1997). Visual Complex Analysis (Chapter 2-4). Oxford University Press.
  3. Riemann, B. (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (博士论文). Göttingen.
  4. Ahlfors, L. V. (1979). Complex Analysis (3rd ed., Chapter 2). McGraw-Hill.

下一节：复积分与留数定理

复平面上的曲线积分——柯西积分定理告诉我们，解析函数的环路积分为零。但如果函数在环路内部有奇点呢？留数定理登场。