复变函数完全入门（一）：从实数到复数——新代数结构的诞生

本文是《复变函数完全入门》系列的第一篇，覆盖复数的定义、运算、几何表示、欧拉公式和复平面。阅读本文仅需掌握高中数学中的实数运算和三角函数。本系列的目标是为理解势流理论中的保角变换打下完整的数学基础——保角变换是连接复变函数和空气动力学势流理论的数学桥梁。

---

第一部分：为什么要有复数

一、概念引入——一个简单方程引发的”数字危机”

1.1 问题

解方程 $x^2 + 1 = 0$。

实数范围内无解——因为任何实数的平方都非负。但如果我们”强行”定义一个数 $i$，使得 $i^2 = -1$，那么方程的解就是 $x = \pm i$。

这个看起来很简单的”强行定义”，在16世纪引起了数学界激烈的争论。当时的数学家将 $i$ 称为”虚数”（imaginary number）——这个名称本身就带有贬义。

1.2 历史的五分钟

时间	人物	贡献
1545	卡尔达诺（Cardano）	在《大术》中首次使用 $\sqrt{-15}$ 计算三次方程的解——“虚数”的首次出场
1572	邦贝利（Bombelli）	系统地使用了 $i$ 的运算规则，被公认为复数的先驱
1748	欧拉	给出 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$——数学中最美的公式
1806	阿尔冈（Argand）	提出复平面（Argand图）——把复数”可视化”了
1832	高斯	正式采用”复数”（complex number）这个术语，并完成了复数理论的公理化

1.3 定义

复数（Complex Number） 是形如 $z = a + bi$ 的数，其中 $a, b$ 是实数，$i = \sqrt{-1}$。

• $a = \text{Re}(z)$——**实部**
• $b = \text{Im}(z)$——**虚部**
• 复数的全体记为 $\mathbb{C}$

两个复数相等：$a+bi = c+di$ 当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$。

---

二、复数的运算

2.1 四则运算

运算	规则	举例
加减	$(a+bi)\pm(c+di) = (a\pm c)+(b\pm d)i$	$(3+2i)+(1-4i)=4-2i$
乘法	$(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i$	$(1+2i)(3-4i)=11+2i$
除法	$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$	$\frac{1}{i} = -i$

乘法的手算例子：

$$(2+3i)(1-2i) = 2(1-2i) + 3i(1-2i) = 2-4i+3i-6i^2 = 2 - i + 6 = 8 - i$$

2.2 共轭复数

$z = a+bi$ 的**共轭**记为 $\bar{z} = a - bi$。

重要性质：

• $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$——**一个实数**
• $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2$
• $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2$

共轭在除法中的作用：

$$\frac{1+2i}{3-4i} = \frac{(1+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{(3-8)+(6+4)i}{9+16} = \frac{-5+10i}{25} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$$

2.3 模长

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$

几何含义：复平面上从原点到点 $z$ 的距离。

---

三、复数的几何表示——复平面

3.1 概念

在复平面上：

• 水平轴 = 实轴（$\text{Re}$）
• 垂直轴 = 虚轴（$\text{Im}$）
• 每个复数 $z = a+bi$ 对应一个点 $(a,b)$

3.2 极坐标表示

复数也可以用极坐标表示：

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

其中：

• $r = |z|$——模长
• $\theta = \arg(z)$——**幅角**（argument），从正实轴开始逆时针的角度

实部和虚部的极坐标表达：

$$a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$$

3.3 手算例子

复数 $z = 1 + i$：

• 模：$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• 幅角：$\theta = \arctan(1/1) = \pi/4 = 45^\circ$

极坐标：$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

---

四、欧拉公式——数学中最美的方程

4.1 公式

欧拉公式：

$$\boxed{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}$$

这是数学中最重要的公式之一。它将三个看起来毫不相关的数学对象——指数函数、三角函数、虚数单位——联系在了一起。

4.2 特殊取值

令 $\theta = \pi$：

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

这就是欧拉恒等式——数学中五个最重要的常数出现在同一个方程中：$e, i, \pi, 1, 0$。

4.3 极坐标的指数形式

利用欧拉公式，复数的极坐标形式可以写成：

$$\boxed{z = r e^{i\theta}}$$

乘法的几何意义：

$$z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

即：模长相乘，幅角相加。

除法的几何意义：

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$

n次幂（De Moivre公式）：

$$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

4.4 手算例子：复数乘法

$z_1 = 2e^{i\pi/3}$，$z_2 = 3e^{i\pi/6}$

乘积：

$$z_1 z_2 = 2\cdot 3 \cdot e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = 6e^{i\pi/2} = 6i$$

验证（用代数形式）：

$z_1 = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ) = 1 + \sqrt{3}i$ $z_2 = 3(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$

乘积：

$$(1+\sqrt{3}i)(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i + \frac{9}{2}i + \frac{3\sqrt{3}}{2}i^2$$ $$= \frac{3\sqrt{3}}{2} + 6i - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 6i$$

✓ 一致！

---

五、复数在微分方程中的出现——复特征根的意义

二阶 ODE 的特征方程可能有共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$。

对应的解：

$$y = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$$

复数的几何在这里变得非常自然：

• $e^{\alpha t}$——模长变化（衰减或增长）
• $e^{i\beta t}$——单位圆上的旋转（振荡）

整个二阶系统的动态行为，就是复数在复平面上轨迹的实数投影。

---

六、完整概念地图

实数 ℝ ──缺 i²=-1──→ 复数 ℂ
                    │
                    ├── 代数形式: z = a + bi
                    ├── 极坐标形式: z = r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ)
                    │
                    ├── 运算
                    │   ├── 加/减：分量运算
                    │   ├── 乘：模相乘，角相加
                    │   ├── 除：模相除，角相减
                    │   └── 幂：De Moivre 公式
                    │
                    ├── 共轭: z·z̄ = |z|²
                    │
                    └── 欧拉公式: e^(iθ) = cosθ + i sinθ
                               │
                                └── 为什么复变函数可以"求导"

---

七、核心公式速查卡

公式	含义
$z = a + bi$	复数的代数形式
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$	模长
$\bar{z} = a - bi$	共轭
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$	极坐标/指数形式
$z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$	乘法：模相乘角相加
$z^n = r^ne^{in\theta}$	De Moivre 幂公式

---

参考文献

1. Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2013). Complex Variables and Applications (9th ed., Chapter 1). McGraw-Hill. ISBN: 978-0-07-338317-0.
2. Needham, T. (1997). Visual Complex Analysis. Oxford University Press. — 复变函数最直观的入门书
3. Euler, L. (1748). Introductio in Analysin Infinitorum (Vol. 1, Chapter 8). — 欧拉公式的原文
4. Gauss, C. F. (1832). “Theoria residuorum biquadraticorum”. — 复数术语的正式确立

---

下一节：解析函数与柯西-黎曼方程

复变函数可以”求导”吗？可以——但条件比实变函数苛刻得多。柯西-黎曼方程是复可微的门槛，也是势流理论中坐标变换的关键。