本文是《微分方程完全入门》系列的第六篇（完结篇），覆盖偏微分方程的基本概念、分类、分离变量法和拉普拉斯方程。阅读本文前需掌握二阶线性ODE。本篇最终目标是理解势流理论中的拉普拉斯方程—— $\\nabla^2\\phi=0$ 。

第六篇：偏微分方程引论——从热方程到拉普拉斯方程

一、概念引入——从一维到多维

常微分方程中的未知函数只有一个自变量（通常是时间 $t$ ）。但现实世界中的场量——温度 $T(x,y,z,t)$ 、压力 $p(x,y,z,t)$ 、速度势 $\phi(x,y,z,t)$ ——都是多个自变量的函数。

偏微分方程（PDE）描述的就是这种多自变量函数的演化或分布规律。

1.1 历史的5分钟

时间	人物	贡献
1747	达朗贝尔	提出波动方程——最早的PDE之一
1777	拉普拉斯	拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi=0$ ——势流的控制方程
1807	傅里叶	提出热传导方程和傅里叶级数解法
1822	傅里叶	《热的解析理论》——PDE求解的里程碑

二、PDE 的三大家族

2.1 分类

二阶线性 PDE 的标准形式：

A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + C\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \cdots = 0

按判别式 $B^2 - 4AC$ 分为三类：

类型	判别式	代表方程	物理含义
椭圆型	$B^2-4AC < 0$	拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi=0$	稳态分布（无时间）
抛物型	$B^2-4AC = 0$	热方程 $u_t = \alpha u_{xx}$	扩散过程
双曲型	$B^2-4AC > 0$	波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$	波动传播

三类方程的物理本质区别：

椭圆型：信息向所有方向传播（稳态、平衡）
抛物型：信息向未来扩散（不可逆）
双曲型：信息沿特征线传播（波前）

2.2 在空气动力学中的出现

PDE 类型	出现位置	博客文章
拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi=0$	势流理论（无黏无旋）	Anderson第二、三讲
热方程 $u_t = \alpha\nabla^2 u$	边界层内的热传导	Anderson第十一讲
波动方程 $u_{tt} = c^2\nabla^2 u$	声传播、激波理论	Anderson第八讲

三、分离变量法——最重要的 PDE 解法

3.1 核心思想

假设 $u(x,t) = X(x)T(t)$ ，代入 PDE，得到两个独立的 ODE。

3.2 手算例子：一维热方程

热方程：

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

边界条件： $u(0,t)=0$ ， $u(L,t)=0$ ，初始条件： $u(x,0)=f(x)$ 。

令 $u(x,t) = X(x)T(t)$ ：

X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)

除以 $\alpha XT$ ：

\frac{T'}{\alpha T} = \frac{X''}{X} = -\lambda

左侧只是 $t$ 的函数，右侧只是 $x$ 的函数——它们必须等于同一个常数 $-\lambda$ 。

于是得到两个 ODE：

T' + \alpha\lambda T = 0 \Rightarrow T(t) = Ce^{-\alpha\lambda t}

X'' + \lambda X = 0 \Rightarrow X(x) = A\sin\sqrt{\lambda}x + B\cos\sqrt{\lambda}x

由边界条件 $X(0)=0 \Rightarrow B=0$ ， $X(L)=0 \Rightarrow \sin\sqrt{\lambda}L=0 \Rightarrow \sqrt{\lambda}L=n\pi$ 。

特征值： $\lambda_n = (n\pi/L)^2$ ， $n=1,2,3,\dots$

通解：

u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin\frac{n\pi x}{L} e^{-\alpha(n\pi/L)^2 t}

物理含义：温度分布可以分解为一系列”模式”（特征函数）的叠加，每个模式以不同的速率指数衰减——高频模式（ $n$ 大）衰减更快。

四、拉普拉斯方程——势流理论的数学本质

4.1 方程形式

二维拉普拉斯方程：

\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} = 0

4.2 拉普拉斯方程的性质

极值原理：调和函数的最大值和最小值出现在边界上——内部没有极值点
均值性质：调和函数在任意点处的值等于其在以该点为圆心的圆上的平均值
解析性：调和函数是无穷次可微的——与解析函数的实/虚部对应

性质 1 和 2 在物理上意味着：拉普拉斯方程描述的场是平滑、无”尖峰”、完全由边界条件决定的。

4.3 用分离变量法解拉普拉斯方程

考虑一个矩形区域 $0 \le x \le a$ ， $0 \le y \le b$ ，边界条件 $u(x,0)=u(x,b)=0$ ， $u(0,y)=0$ ， $u(a,y)=f(y)$ 。

令 $u(x,y) = X(x)Y(y)$ ：

X''Y + XY'' = 0 \Rightarrow \frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = \lambda

Y'' + \lambda Y = 0

，

Y(0)=Y(b)=0 \Rightarrow Y(y) = \sin\frac{n\pi y}{b}

（特征函数）

X'' - \lambda X = 0 \Rightarrow X(x) = A e^{\sqrt{\lambda}x} + B e^{-\sqrt{\lambda}x}

代入边界条件 $X(0)=0$ 得到 $B=-A$ ：

u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty C_n \sinh\frac{n\pi x}{b} \sin\frac{n\pi y}{b}

这就是矩形区域拉普拉斯方程的解。它和势流理论中”翼型前方的速度势”形式相同。

五、拉普拉斯方程与势流的全面对照

数学概念	势流物理含义
$\nabla^2\phi = 0$	不可压缩无旋流动
$\phi = \text{const}$ 等值线	等势线
$\mathbf{V} = \nabla\phi$	速度场
边界条件 $\partial\phi/\partial n = 0$	固壁无穿透条件
分离变量解	管道内、拐角处的流动
极坐标解	圆柱绕流

六、核心公式速查卡

公式	PDE类型	物理场景
$\nabla^2\phi = 0$	椭圆型	势流、稳态热传导
$u_t = \alpha\nabla^2 u$	抛物型	热扩散、边界层
$u_{tt} = c^2\nabla^2 u$	双曲型	声波、激波传播
$u(x,t)=X(x)T(t)$	分离变量法	PDE→两个ODE

参考文献

Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (3rd ed.). Springer.
Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017). Elementary Differential Equations (11th ed., Chapter 10-11). Wiley.
Strauss, W. A. (2007). Partial Differential Equations: An Introduction (2nd ed.). Wiley.
Fourier, J. (1822). Théorie Analytique de la Chaleur. — 热方程与傅里叶级数的奠基之作

微分方程完全入门系列（共6篇）全篇完结

本系列从一阶ODE出发，经过二阶线性方程、拉普拉斯变换、微分方程组、数值解法，最终上升到偏微分方程引论。完整的知识链路贯穿飞行动力学、PID控制、势流理论、热传导等工程场景中的微分方程应用。感谢阅读。