微分方程完全入门（四）：微分方程组与相平面——从一维到多维

本文是《微分方程完全入门》系列的第四篇，覆盖一阶常微分方程组的相平面分析、平衡点分类和李雅普诺夫稳定性。阅读本文前需掌握特征根的概念——我们将把特征根从”单个方程”推广到”方程组”。

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第四篇：微分方程组与相平面——从一维到多维

一、概念引入——为什么需要方程组

一个四旋翼无人机的动力学需要 12 个一阶 ODE 来描述——位置(3)+速度(3)+姿态(3)+角速度(3)。这不是单个方程能处理的。

一阶 ODE 方程组的一般形式：

$$\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ \frac{dx_2}{dt} = f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ \vdots \\ \frac{dx_n}{dt} = f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \end{cases}$$

写成向量形式：

$$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$

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二、线性化——在平衡点附近近似

2.1 平衡点

如果 $\mathbf{f}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{x}^*$ 是一个平衡点。

在平衡点附近，用泰勒展开取一阶近似：

$$\dot{\mathbf{x}} \approx \mathbf{f}(\mathbf{x}^*) + \frac{\partial\mathbf{f}}{\partial\mathbf{x}}\bigg|_{\mathbf{x}^*}(\mathbf{x} - \mathbf{x}^*) = \mathbf{0} + \mathbf{A}(\mathbf{x} - \mathbf{x}^*)$$

其中 $\mathbf{A}$ 是雅可比矩阵：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$

线性化系统：$\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{A}\mathbf{y}$，其中 $\mathbf{y} = \mathbf{x} - \mathbf{x}^*$。

2.2 手算例子：单摆

单摆方程：

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0$$

写成一阶系统：$x_1 = \theta$, $x_2 = \dot{\theta}$

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = -\frac{g}{L}\sin x_1 \end{cases}$$

平衡点：$x_1 = 0$ 或 $\pi$（即 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$）

雅可比矩阵：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{g}{L}\cos x_1 & 0 \end{bmatrix}$$

在 $\theta=0$（最低点）：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -g/L & 0 \end{bmatrix}$$

特征值：$\lambda = \pm i\sqrt{g/L}$——中心点（中性稳定）

在 $\theta=\pi$（倒立摆，最高点）：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ g/L & 0 \end{bmatrix}$$

特征值：$\lambda = \pm \sqrt{g/L}$——鞍点（不稳定！）

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三、相平面分析——二维系统的几何

3.1 二维线性系统的四种平衡点

对于 $2\times 2$ 系统 $\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{A}\mathbf{y}$，平衡点的类型由特征值决定：

特征值	平衡点类型	图示
两实负 $\lambda_1 < \lambda_2 < 0$	稳定结点	所有轨道汇入原点
两实正 $0 < \lambda_1 < \lambda_2$	不稳定结点	所有轨道从原点出发
一正一负 $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$	鞍点	沿一个方向稳定，另一方向不稳定
共轭复根 $\alpha < 0$	稳定焦点	螺旋衰减进入原点
共轭复根 $\alpha = 0$	中心点	椭圆轨道，不衰减也不发散
共轭复根 $\alpha > 0$	不稳定焦点	螺旋发散出原点

3.2 与二阶ODE阻尼比的对应

在第二篇中我们学的二阶ODE：

$$\ddot{y} + 2\zeta\omega_n\dot{y} + \omega_n^2 y = 0$$

写成方程组：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = -\omega_n^2 x_1 - 2\zeta\omega_n x_2 \end{cases}$$

特征方程：$\lambda^2 + 2\zeta\omega_n\lambda + \omega_n^2 = 0$

特征值：$\lambda = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$

$\zeta$	特征值	平衡点类型	物理含义
$\zeta > 1$	两负实根	稳定结点	过阻尼，缓慢回复
$\zeta = 1$	重负实根	稳定结点（退化）	临界阻尼，最快回复
$0 < \zeta < 1$	共轭复根（负实部）	稳定焦点	欠阻尼，衰减震荡
$\zeta = 0$	纯虚根	中心点	无阻尼，等幅震荡
$\zeta < 0$	共轭复根（正实部）	不稳定焦点	发散震荡→不稳定

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四、李雅普诺夫稳定性

4.1 定义

平衡点 $\mathbf{x}^*$ 称为：

• 稳定（Lyapunov stable）：从附近出发的解永远停留在附近
• 渐近稳定：从附近出发的解趋近于平衡点
• 不稳定：存在任意靠近的初始条件导致的解远离平衡点

4.2 线性化稳定判据

对于线性化系统 $\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{A}\mathbf{y}$：

所有特征值的实部为负 → 渐近稳定
存在特征值的实部为正 → 不稳定

这称为李雅普诺夫间接方法。

4.3 在四旋翼中的应用

四旋翼的悬停状态就是一个平衡点：

$$\mathbf{x}^* = [x_0, y_0, z_0, 0, 0, 0, \phi_0=0, \theta_0=0, \psi_0, 0, 0, 0]^T$$

对 12 维系统做线性化，得到雅可比矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值——这告诉飞控设计者哪几个模态是稳定的、哪几个需要主动控制。

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五、核心公式速查卡

公式	含义
$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$	一阶ODE方程组
$\mathbf{A} = \partial\mathbf{f}/\partial\mathbf{x}$	雅可比矩阵
$\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{A}\mathbf{y}$	线性化系统
$\det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$	特征方程
所有 $\text{Re}(\lambda_i) < 0$ → 渐近稳定	李雅普诺夫间接方法

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参考文献

1. Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (3rd ed., Chapter 1-2). Springer.
2. Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear Dynamics and Chaos (2nd ed., Chapter 5-6). CRC Press.
3. Lyapunov, A. M. (1892). The General Problem of the Stability of Motion. — 稳定性理论的奠基之作
4. Stevens, B. L., Lewis, F. L., & Johnson, E. N. (2015). Aircraft Control and Simulation (3rd ed.). Wiley.

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下一节：数值解法：欧拉法与RK4

大多数微分方程没有解析解——必须依靠数值方法。从最简单的欧拉法到工程标准的RK4，再到现代自适应变步长方法。