goodisok 的博客

本文是 Stevens、Lewis 与 Johnson《Aircraft Control and Simulation》（第3版）读书笔记系列的第一篇，覆盖教材第1-2章的核心内容：六自由度运动方程的完整建立与状态空间表达。阅读本文前需掌握微分方程基础（尤其是一阶ODE方程组）。 第一篇：飞行动力学建模——从6-DOF到状态空间方程一、概念引入——飞控设计的三个核心问题1.1 问题设计一个无人机的飞行控制系统，需要回答三个层层递进的问题： 系统怎么动？ — 建立被控对象的数学模型（6-DOF 方程） 系统本身稳不稳？ — 分析系统固有动态（模态分析、特征值） 怎么让系统按期望动？ — 设计控制器（PID、状态反馈、制导律） Stevens 教材的第1-2章回答第一个问题。它的建模方法与已有的《无人机飞行物理学》文章有重叠，但 Stevens 的视角更面向控制——它不满足于”推导出6-DOF方程”，而是进一步将方程整理成控制系统设计需要的标准形式：状态空间方程。 1.2 历史的五分钟 时间 人物 贡献 1687 牛顿 三大运动定律——飞行器动力学的物理基础 ...

本文目标：让没有任何信息论基础的读者，从零开始系统掌握信息论的核心概念——信息熵、交叉熵、KL散度、互信息、信息瓶颈，以及它们在深度学习（YOLO损失函数、知识蒸馏、PPO）中的关键应用。全文采用”概念→定义→性质→历史→应用”教学法。 一、什么是信息论——衡量”信息”的数学1.1 信息论回答的三个核心问题 问题 答案 在AI中的对应 一个事件包含多少信息？ 信息熵 H(X)H(X)H(X) YOLO检测的置信度编码了多少信息？ 两个分布的差异有多大？ KL散度 DKL(P∥Q)D_{KL}(P\|Q)DKL​(P∥Q) 知识蒸馏中学生欠老师多少？ 两个变量共享多少信息？ 互信息 I(X;Y)I(X;Y)I(X;Y) 特征提取保留了多少原始信息？ 一句话总结：信息论是深度学习的”幕后裁判”——损失函数的设计、模型压缩、训练算法的选择，背后都可以用信息论解释。 1.2 信息论的诞生历史： 1948年：克劳德·香农（Claude Shannon）在贝尔实验室发表了划时代的论文《通信的数学理论》，创立了信息论 香农当时研究的问题是：如何在有噪声的电话线上...

本文目标：让没有任何最优化基础的读者，从零开始系统掌握最优化的核心概念——无约束优化、梯度下降家族（SGD/Momentum/Adam）、凸优化、约束优化、以及强化学习中的策略优化（PPO）。全文采用”概念→定义→性质→历史→应用”教学法，所有概念都连接到已发表的YOLO训练、端到端自动驾驶和无人机控制文章。 一、什么是最优化——寻找”最好”1.1 最优化问题的标准形式定义：在给定的约束下，寻找使目标函数取得最小值（或最大值）的参数。 min⁡xf(x)s.t.gi(x)≤0,hj(x)=0 \min_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) \quad \text{s.t.} \quad g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad h_j(\mathbf{x}) = 0 xmin​f(x)s.t.gi​(x)≤0,hj​(x)=0 x\mathbf{x}x：决策变量（我们要找的参数） f(x)f(\mathbf{x})f(x)：目标函数（衡量"好坏"的指标） gi(x)≤0g_i(\mathbf{x}) \leq 0g...

本文目标：让没有任何数值分析基础的读者，从零开始系统掌握数值分析的核心概念——浮点数表示、误差分析、数值微分与积分、常微分方程数值解法（欧拉法/RK4）、线性方程组求解、以及TensorRT量化的数学原理。全文采用”概念→定义→性质→历史→应用”教学法，所有内容连接到飞行动力学仿真、光线追踪和深度学习推理。 一、什么是数值分析——数学公式如何在计算机上”算得准”1.1 数值分析回答的核心问题理论上完美的数学公式，在计算机上计算时会遇到三个问题： 问题 例子 后果 浮点误差 1+10−16=11 + 10^{-16} = 11+10−16=1（单精度） 累计误差导致发散 病态问题 条件数大的矩阵 Ax=bAx=bAx=b 很小的输入噪声导致很大的输出误差 截断误差 欧拉方法近似微分方程 仿真结果与真实值有偏差 数值分析就是研究如何在计算机上高效、稳定、精确地计算数学问题。 1.2 发展简史历史： 1671年：牛顿发明牛顿法求解方程，是最早的数值算法之一 1805年：高斯发明最小二乘法 1901年：龙格（Runge）和库塔（Kutta）发明...

本文目标：让没有任何概率论基础的读者，从零开始系统掌握概率论与统计的核心概念——概率公理、随机变量、分布、贝叶斯定理、大数定律、蒙特卡洛方法、卡尔曼滤波。全文采用”概念→定义→性质→历史→应用”教学法，配合大量工程实例，连接已发表的技术文章。 一、为什么需要概率论——世界是不确定的1.1 确定性与随机性前两篇文章（线性代数、微积分）处理的都是确定性问题：给定输入，输出是确定的。 但真实世界充满不确定性： 场景 不确定性来源 处理方式 YOLO检测”80%是行人” 光照、遮挡、姿态变化 概率置信度 无人机GPS位置误差 卫星信号噪声、多路径效应 概率分布建模 卡尔曼滤波估计状态 传感器噪声 + 模型误差 贝叶斯更新 蒙特卡洛光线追踪 随机采样近似积分 大数定律 概率论就是处理不确定性的数学语言——它告诉我们如何量化不确定性、如何用新证据更新信念、如何在随机性中做最优决策。 1.2 概率论发展简史历史： 1654年：帕斯卡和费马通过通信讨论”赌金分配问题”，创立概率论。一个贵族向帕斯卡请教：”两个赌徒在未完成赌局时如何公平分赌注？” 1713年：...

本文目标：让没有任何线性代数基础的读者，从零开始系统掌握线性代数的核心概念——定义、性质、表示方法、几何意义和历史背景，并理解它们如何应用于无人机、AI和仿真技术中。全文采用”概念→定义→性质→表示→例子→应用”的六步教学法。 第一部分：基础篇一、标量与向量——从单个数字到数字的数组1.1 标量（Scalar）——单个数字定义：标量是只有一个数值的量，它只需要一个数字就能完全描述。 历史：标量的概念最早可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派（公元前6世纪），他们用数字来描述世界的长度、面积等度量。但”标量”这个术语是19世纪由爱尔兰数学家威廉·哈密顿（William Rowan Hamilton）在创立四元数理论时正式提出的，用于区分”只有大小的量”和”既有大小又有方向的量”。 表示方法：通常用斜体小写字母表示，如 a,b,x,5,−3.14a, b, x, 5, -3.14a,b,x,5,−3.14。 性质： 标量只有大小（magnitude），没有方向 标量可以是实数（R\mathbb{R}R）或复数（C\mathbb{C}C） 标量可以进行加、减、乘、除四则运算 工程...

本文目标：让没有任何微积分基础的读者，从零开始系统掌握微积分的核心概念——极限、导数、积分、微分方程的定义、性质、几何意义和历史背景，并理解它们如何应用于无人机飞控、光线追踪、深度学习等AI技术中。全文采用”概念→定义→性质→几何意义→计算方法→应用”的六步教学法，配合大量手算例子和工程实例。 第一部分：基础篇一、微积分是什么——一个关于”变化”和”累积”的故事1.1 微积分回答的两个核心问题微积分（Calculus）只做两件事： 问题 分支 通俗理解 例子 变化的速率是多少？ 微分学 求”瞬间变化率” 无人机此时的速度是多大？ 累积的总量是多少？ 积分学 求”累积总和” 无人机飞了多远？ 这两个问题是互逆的——微分和积分互为逆运算，这就是微积分最核心的定理：微积分基本定理。 历史：微积分的创立是数学史上最重大的事件之一。17世纪，两位科学家几乎同时独立地创立了微积分： 艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643-1727）：英国物理学家和数学家。他于1665-1666年（”奇迹年”）创立了”流数术”（fluxions），用于研究运动和引力。但...

本文是《复变函数完全入门》系列的第五篇（完结篇），覆盖复势的概念、用复变函数描述基本势流解、圆柱绕流的复势形式和儒科夫斯基翼型的完全解。本文串联起前三篇的所有数学工具——将它们应用到空气动力学势流理论的实际问题中。 第五篇：复变函数在空气动力学中的应用——复势与翼型绕流一、复势——统一描述二维势流1.1 概念引入在第二篇中我们学过：任意解析函数 f(z)=ϕ+iψf(z) = \phi + i\psif(z)=ϕ+iψ 的实部和虚部都是调和函数——即满足拉普拉斯方程。 在空气动力学中： ϕ\phiϕ = 速度势 ψ\psiψ = 流函数 f(z)=ϕ+iψf(z) = \phi + i\psif(z)=ϕ+iψ 称为**复势**（Complex Potential） 所以：每一个解析函数对应一种可能的二维不可压缩无旋流动。 1.2 从复势得到流场信息速度场从复势的导数获得——复速度： dfdz=∂ϕ∂x+i∂ψ∂x=u−iv \frac{df}{dz} = \frac{\partial\phi}{\partial x} + i\frac{\partial\psi}{\p...

本文是《复变函数完全入门》系列的第四篇，覆盖保角变换的定义、性质、儒科夫斯基变换及其在翼型空气动力学中的应用。阅读本文前需掌握解析函数的定义和CR方程。 第四篇：保角变换——从圆到翼型的数学桥梁一、概念引入——为什么需要保角变换1.1 问题势流理论中，圆柱绕流已经有了精确解析解。但工程师关心的是翼型绕流，不是圆柱绕流。 有没有一种方法，能把圆柱绕流”变形”成翼型绕流？ 有——保角变换。 核心思想： 在 ζ\zetaζ 平面（计算平面）上，我们有一个圆——绕流解已知 通过一个解析函数 z=f(ζ)z = f(\zeta)z=f(ζ)，把圆映射为翼型形状 圆柱绕流解同步映射——就得到了翼型绕流解 1.2 历史的五分钟 时间 人物 贡献 1851 黎曼 黎曼映射定理：任何单连通区域都可以保角映射到单位圆 1910 儒科夫斯基（Zhukovsky） 提出儒科夫斯基变换——从圆到翼型的精确映射 1922 库塔（Kutta） 应用儒科夫斯基变换计算翼型升力 1933 西奥多森（Theodorsen） 提出一般翼型的数值保角变换方法 二、保角变换的定义2....

本文是《复变函数完全入门》系列的第三篇，覆盖复积分、柯西积分定理、柯西积分公式和留数定理。阅读本文前需了解解析函数的定义和CR方程。 第三篇：复积分与留数定理——环路积分的威力一、概念引入——从实积分到复积分1.1 定义复变函数的积分定义为： ∫Cf(z) dz=∫C[u(x,y)+iv(x,y)][dx+i dy]=∫Cu dx−v dy+i∫Cv dx+u dy \int_C f(z)\,dz = \int_C [u(x,y) + iv(x,y)][dx + i\,dy] = \int_C u\,dx - v\,dy + i\int_C v\,dx + u\,dy ∫C​f(z)dz=∫C​[u(x,y)+iv(x,y)][dx+idy]=∫C​udx−vdy+i∫C​vdx+udy 其中 CCC 是复平面中的一段曲线。 若曲线参数化为 z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t) + iy(t)z(t)=x(t)+iy(t)，a≤t≤ba \le t \le ba≤t≤b： ∫Cf(z) dz=∫abf(z(t)) z′(t) dt \int_C f(z)\...