参考教材：同济大学数学系《线性代数》第六版（第1–6章）。GitHub 配套课本：github.com/goodisok/ChinaTextbook

一、行列式——一个数字决定一切

概念直觉

行列式是一个奇特的函数：输入一个方阵，输出一个数字。这个数字告诉你一件至关重要的事——这个矩阵所代表的变换是把空间”撑大”还是”压扁”。行列式为零，意味着至少一个维度被压没了——变换变得不可逆。

定义

二阶行列式：

∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

三阶行列式（对角线法则）：

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}

n 阶行列式：通过按行（列）展开的递推定义。

余子式 MijM_{ij}：划去第 ii 行第 jj 列后剩下的 n−1n-1 阶行列式。

代数余子式 Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}。

按第 ii 行展开：

det⁡(A)=∑j=1naijAij \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}

核心性质

性质 内容
转置不变 det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^T) = \det(A)
互换两行（列） 行列式变号
某行（列）有公因子 可提到外面：det⁡(⋯ ,kαi,⋯ )=kdet⁡(⋯ ,αi,⋯ )\det(\cdots, k\alpha_i, \cdots) = k\det(\cdots, \alpha_i, \cdots)
两行（列）成比例 行列式为零
某行（列）是两组数之和 可拆成两个行列式之和
某行（列）的 kk 倍加到另一行（列） 行列式不变
乘法性质 det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\det(B)

几何意义

这是整个线性代数最直观的部分。二阶行列式 ∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad-bc 的绝对值，等于以 (a,c)(a,c) 和 (b,d)(b,d) 为邻边的平行四边形面积。三阶行列式等于三个列向量张成的平行六面体体积。

行列式为零 = 面积/体积为零 = 向量共线/共面 = 矩阵不可逆。

行列式几何意义

手算例子

计算三阶行列式：

∣2134−12105∣ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}

按第一行展开：

=2⋅(−1)1+1∣−1205∣+1⋅(−1)1+2∣4215∣+3⋅(−1)1+3∣4−110∣=2(−1⋅5−2⋅0)−1(4⋅5−2⋅1)+3(4⋅0−(−1)⋅1)=2(−5)−1(18)+3(1)=−10−18+3=−25 \begin{aligned} &= 2 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 5\end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix}4 & 2 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}4 & -1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} \\[4pt] &= 2( -1 \cdot 5 - 2 \cdot 0) - 1(4 \cdot 5 - 2 \cdot 1) + 3(4 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) \\[4pt] &= 2(-5) - 1(18) + 3(1) = -10 - 18 + 3 = -25 \end{aligned}

工程应用

  • 克拉默法则：解 nn 元线性方程组（小规模精确解）
  • 矩阵可逆判据：det⁡(A)≠0  ⟺  A\det(A) \neq 0 \iff A 可逆
  • 飞行器惯性张量：det⁡(I)>0\det(I) > 0（物理上必须成立，否则转动惯量无意义）
  • EKF 协方差：det⁡(P)>0\det(P) > 0 确保协方差矩阵半正定

二、矩阵及其运算——数字的矩形阵列

概念直觉

矩阵是一个”变换机器”——你给它一个向量，它还你另一个向量。更重要的是，它把”变换”这件事变成了一个数学对象，你可以对变换本身做运算：组合两个变换（乘法）、撤销一个变换（逆矩阵）、比较两个变换。

定义

m×nm \times n 矩阵：mm 行 nn 列的数字阵列。 A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

矩阵运算速查

运算 规则 维度要求
加法 A+BA+B 对应元素相加 同型矩阵
数乘 kAkA 每个元素乘 kk 无限制
乘法 ABAB (AB)ij=∑kaikbkj(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj} AA 列数 = BB 行数
转置 ATA^T (AT)ij=Aji(A^T)_{ij} = A_{ji} m×n→n×mm \times n \to n \times m
逆 A−1A^{-1} AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I 方阵且 det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0

乘法要点（最容易错的地方）：

  • AB≠BAAB \neq BA 一般不交换
  • (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC) 结合律成立
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T 注意顺序反转

矩阵的逆

方阵 AA 可逆   ⟺  det⁡(A)≠0\iff \det(A) \neq 0。

伴随矩阵法求逆：

A−1=1det⁡(A)A∗ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*

其中 A∗A^* 是伴随矩阵：(A∗)ij=Aji(A^*)_{ij} = A_{ji}（转置的代数余子式矩阵）。

性质：(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A，(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}，(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T。

特殊矩阵速查

类型 定义 关键性质
单位矩阵 II 对角线全 1，其余 0 AI=IA=AAI=IA=A
对角矩阵 Λ\Lambda 非对角线全 0 求逆只需对角线取倒数
对称矩阵 A=ATA = A^T 特征值全为实数
正交矩阵 QTQ=IQ^TQ = I Q−1=QTQ^{-1}=Q^T，代表旋转/反射
正定矩阵 xTAx>0 (∀x≠0)\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0\ (\forall \mathbf{x} \neq 0) 所有特征值 > 0

手算例子

2×2 矩阵求逆：

A=[4726],det⁡(A)=24−14=10 A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix},\quad \det(A) = 24 - 14 = 10 A−1=110[6−7−24]=[0.6−0.7−0.20.4] A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}

验证：AA−1=[4726][0.6−0.7−0.20.4]=[1001]=IA A^{-1} = \begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = I ✓

工程应用

  • 旋转矩阵：绕 zz 轴转 θ\theta → Rz=[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001]R_z = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} 是正交矩阵
  • 惯量张量：I=[Ixx−Ixy−Ixz−IyxIyy−Iyz−Izx−IzyIzz]\mathbf{I} = \begin{bmatrix}I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix} 是对称正定矩阵
  • 协方差矩阵：Kalman 滤波 PP 矩阵必须保持对称正定

三、矩阵的初等变换与线性方程组——高斯消去法

概念直觉

解方程组的本质是”化简而不改变解”。你对等式两边做同一个操作，解不会变。矩阵的初等行变换就是把这种思想系统化——每一步都是合法操作，最终把系数矩阵化为最简形式，解自动浮出水面。

三种初等行变换

  1. 对换两行：ri↔rjr_i \leftrightarrow r_j
  2. 以数 k≠0k \neq 0 乘某行：ri×kr_i \times k
  3. 某行的 kk 倍加到另一行：ri+krjr_i + k r_j

任何矩阵都可以通过初等行变换化为行最简形（每行首个非零元为 1，该列其余为 0）。

矩阵的秩

定义：矩阵的非零子式的最高阶数。或者说，行最简形中非零行的行数。

矩阵 AA 的秩记作 R(A)R(A)。

性质：

  • 0≤R(Am×n)≤min⁡(m,n)0 \leq R(A_{m \times n}) \leq \min(m, n)
  • R(AT)=R(A)R(A^T) = R(A)
  • R(AB)≤min⁡(R(A),R(B))R(AB) \leq \min(R(A), R(B))
  • 满秩方阵 → 可逆

线性方程组的解

对于 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}（mm 个方程，nn 个未知数）：

条件 结论
R(A)<R([A∣b])R(A) < R([A \mid \mathbf{b}]) 无解（b\mathbf{b} 不在 AA 的列空间中）
R(A)=R([A∣b])=nR(A) = R([A \mid \mathbf{b}]) = n 唯一解
R(A)=R([A∣b])<nR(A) = R([A \mid \mathbf{b}]) < n 无穷多解（n−R(A)n - R(A) 个自由变量）

齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 一定有零解。有非零解   ⟺  R(A)<n\iff R(A) < n。

手算例子

解方程组：

{x1+2x2+x3=32x1+5x2−x3=4x1−x2+4x3=5 \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \\ 2x_1 + 5x_2 - x_3 = 4 \\ x_1 - x_2 + 4x_3 = 5 \end{cases}

增广矩阵消元：

[121325−141−145]→r2−2r1[121301−3−21−145]→r3−r1[121301−3−20−332] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 1 & -1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3-r_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \end{bmatrix} →r3+3r2[121301−3−200−6−4] \xrightarrow{r_3+3r_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & -6 & -4 \end{bmatrix}

回代：x3=23x_3 = \frac{2}{3}，x2=−3x3−2=−4x_2 = -3x_3 - 2 = -4，x1=3−2(−4)−23=313x_1 = 3 - 2(-4) - \frac{2}{3} = \frac{31}{3}

工程应用

  • 控制分配：四旋翼伪逆控制分配 ω2=M+τ\boldsymbol{\omega}^2 = M^+ \boldsymbol{\tau}，其中 MM 是 4×44 \times 4 混合矩阵
  • 传感器标定：多个姿态传感器数据融合 → 超定方程组 → 最小二乘解
  • PX4 EKF：24 维状态向量的协方差矩阵操作，秩亏损检测是发散的早期信号

四、向量组的线性相关性——空间的”自由度”

概念直觉

你在平面上画几个向量。如果其中一个向量可以用其他向量的组合画出来——它就是”多余的”。线性相关性就是问：这个向量组里有没有”多余的”向量？线性无关意味着每个向量都在贡献一个新的方向。

定义

对向量组 α1,α2,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_m，若存在不全为零的数 k1,k2,…,kmk_1, k_2, \ldots, k_m 使得

k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0 k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \mathbf{0}

则称该向量组线性相关；否则线性无关（只有全部 ki=0k_i=0 才能得到零向量）。

与秩的关系

命题 含义
mm 个 nn 维向量线性无关   ⟺  \iff 以它们为列（行）的矩阵的秩 =m= m 秩等于向量个数
m>nm > n 时必线性相关 向量的个数超过维数
向量组的极大无关组所含向量个数 = 向量组的秩 秩 = 独立方向的个数

向量空间基础

向量空间：对加法和数乘封闭的向量集合。

基：向量空间 VV 中一组线性无关的向量 ε1,…,εr\boldsymbol{\varepsilon}_1, \ldots, \boldsymbol{\varepsilon}_r，使得 VV 中任何向量都能唯一地表示为它们的线性组合。

维数：基中向量的个数 = 向量空间所含独立方向的个数。

坐标：α=x1ε1+⋯+xrεr\boldsymbol{\alpha} = x_1\boldsymbol{\varepsilon}_1 + \cdots + x_r\boldsymbol{\varepsilon}_r 中的 (x1,…,xr)(x_1, \ldots, x_r) 就是 α\boldsymbol{\alpha} 在基 {εi}\{\boldsymbol{\varepsilon}_i\} 下的坐标。

基变换与坐标变换：设旧基 BB 到新基 B′B' 的过渡矩阵为 PP（B′=BPB' = BP），则坐标变换公式为：

x′=P−1x \mathbf{x}' = P^{-1}\mathbf{x}

手算例子

判断 α1=(1,2,3)T\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,3)^T，α2=(2,4,6)T\boldsymbol{\alpha}_2=(2,4,6)^T，α3=(1,0,1)T\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,1)^T 的线性相关性。

构造矩阵 A=[α1,α2,α3]A = [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3]：

A=[121240361]→消元[12100−200−2] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{消元}} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} R(A)=2<3R(A) = 2 < 3，故线性相关。实际上 α2=2α1\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1。

工程应用

  • 坐标系变换：无人机 NED → 机体 → 传感器坐标系，每个变换就是坐标变换
  • 状态空间控制：能控性   ⟺  \iff 能控性矩阵的列向量张成全空间
  • 线性回归：特征矩阵列满秩   ⟺  \iff 各特征线性无关（无多重共线性）

五、相似矩阵与二次型

5.1 特征值与特征向量——变换的”本色”

概念直觉

把矩阵看作一个变换。大多数向量被变换后，方向会改变。但有一类特殊向量——变换后方向不变，只是被拉伸或压缩了。这些向量就是特征向量，拉伸的倍数就是特征值。

想象一块橡皮泥被拉伸：沿着拉伸方向放置的线方向不变，只变长度——那就是特征向量的方向。

定义

Av=λv(v≠0) A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \quad (\mathbf{v} \neq \mathbf{0})

其中 v\mathbf{v} 是特征向量，λ\lambda 是特征值。

求解

  1. 解特征方程：det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0，得特征值 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n
  2. 对每个 λi\lambda_i，解 (A−λiI)x=0(A - \lambda_i I)\mathbf{x} = \mathbf{0}，得特征向量

核心性质

性质 说明
∑λi=tr⁡(A)\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A) 特征值之和 = 迹（对角线之和）
∏λi=det⁡(A)\prod \lambda_i = \det(A) 特征值之积 = 行列式
对称矩阵特征值全为实数 惯量张量、协方差矩阵等适用
不同特征值的特征向量线性无关 可对角化的充分条件
正定矩阵所有特征值 > 0 判定正定性的最实用方法

特征向量几何意义

手算例子

求 A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} 的特征值与特征向量。

特征方程：

det⁡(A−λI)=∣4−λ123−λ∣=(4−λ)(3−λ)−2=λ2−7λ+10=0 \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda\end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0

解得 λ1=5\lambda_1 = 5，λ2=2\lambda_2 = 2。

对 λ1=5\lambda_1=5：解 (A−5I)v=[−112−2]v=0(A-5I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}，得 v1=k1[11]\mathbf{v}_1 = k_1\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}

对 λ2=2\lambda_2=2：解 (A−2I)v=[2121]v=0(A-2I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}，得 v2=k2[1−2]\mathbf{v}_2 = k_2\begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix}

工程应用

  • 无人机模态分析：状态矩阵的特征值实部 = 各模态的阻尼。实部为负 → 稳定；实部为正 → 发散
  • 主成分分析（PCA）：协方差矩阵的特征向量 = 数据方差最大的方向
  • 振动分析：惯量-刚度系统的广义特征值 = 固有频率的平方

5.2 矩阵的对角化

概念

如果 nn 阶方阵 AA 有 nn 个线性无关的特征向量，则 AA 可对角化：

P−1AP=Λ=diag⁡(λ1,λ2,…,λn) P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)

其中 PP 的列是 AA 的特征向量，Λ\Lambda 的对角线是对应特征值。

对角化的意义：在特征向量构成的坐标系下，线性变换退化为每个方向上的独立缩放——这是最简单的变换。

可对角化条件

  • 充分条件：AA 有 nn 个互不相同的特征值
  • 对称矩阵一定可以对角化（不仅可对角化，还可以正交对角化：QTAQ=ΛQ^T A Q = \Lambda，QQ 是正交矩阵）

5.3 实对称矩阵的对角化——施密特正交化

对称矩阵有一个极好的性质：不同特征值对应的特征向量自动正交（对于相同特征值的，可以通过施密特正交化将它们变为正交）。因此对称矩阵一定存在一组标准正交的特征向量。

施密特正交化：将一组线性无关的向量 α1,…,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_r 化为标准正交向量组：

β1=α1β2=α2−⟨α2,β1⟩⟨β1,β1⟩β1β3=α3−⟨α3,β1⟩⟨β1,β1⟩β1−⟨α3,β2⟩⟨β2,β2⟩β2 \begin{aligned} \boldsymbol{\beta}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_2 &= \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_3 &= \boldsymbol{\alpha}_3 - \frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1 - \frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2\rangle}\boldsymbol{\beta}_2 \end{aligned}

然后归一化：ei=βi∥βi∥\mathbf{e}_i = \frac{\boldsymbol{\beta}_i}{\|\boldsymbol{\beta}_i\|}

5.4 二次型——把二次多项式写成矩阵形式

定义

f(x1,x2,…,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj=xTAx f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}

其中 AA 是对称矩阵。

例如：f=x12+4x1x2+3x22=[x1x2][1223][x1x2]f = x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2 = \begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}

标准形与规范形

通过正交变换 x=Qy\mathbf{x} = Q\mathbf{y}（QTQ=IQ^TQ = I），二次型化为标准形：

f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2 f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2

只含平方项，交叉项消失。标准形中正系数的个数叫正惯性指数，负系数的个数叫负惯性指数。

惯性定理：正负惯性指数是唯一的，不依赖所用的变换。

正定性判定

类型 条件 等价条件
正定 ∀x≠0,f>0\forall \mathbf{x} \neq 0, f > 0 所有特征值 > 0
负定 ∀x≠0,f<0\forall \mathbf{x} \neq 0, f < 0 所有特征值 < 0
半正定 ∀x,f≥0\forall \mathbf{x}, f \geq 0 所有特征值 ≥ 0
不定 既可正也可负 特征值有正有负

赫尔维茨定理：对称矩阵正定   ⟺  \iff 所有顺序主子式 > 0。

手算例子

化 f=2x12+4x1x2+5x22f = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 5x_2^2 为标准形。

二次型矩阵 A=[2225]A = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 2 & 5\end{bmatrix}。

特征值：det⁡(A−λI)=(2−λ)(5−λ)−4=λ2−7λ+6=0\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(5-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0，得 λ1=6,λ2=1\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 1。

故标准形为 f=6y12+y22f = 6y_1^2 + y_2^2（正定，正惯性指数 = 2）。

工程应用

  • 李雅普诺夫稳定性：判断非线性系统稳定 → 构造能量函数（二次型）→ 验证正定性
  • 最优化：Hessian 矩阵正定 → 局部极小；负定 → 局部极大；不定 → 鞍点
  • 惯量椭球：无人机惯量张量定义了惯量椭球 ωTIω=1\boldsymbol{\omega}^T \mathbf{I} \boldsymbol{\omega} = 1，主轴方向就是 I\mathbf{I} 的特征向量方向

六、线性空间与线性变换——更高视角

概念直觉

前面我们在 Rn\mathbb{R}^n 的标准基下讨论一切。但基的选择是任意的——同一组向量在不同基下有不同坐标，同一个变换在不同基下有不同矩阵表示。线性空间与线性变换把讨论从”具体数字”提升到”抽象结构”层面。

线性空间的公理化定义

一个非空集合 VV 连同加法和数乘，若满足 8 条公理（交换律、结合律、零元、负元、分配律等），则构成数域 F\mathbb{F} 上的线性空间。

例子：Rn\mathbb{R}^n（通常的向量）、m×nm \times n 矩阵全体、次数 ≤ n 的多项式全体 Pn[x]P_n[x]、[a,b][a,b] 上的连续函数全体 C[a,b]C[a,b]

子空间

线性空间 VV 的非空子集 WW，如果对 VV 的加法和数乘也构成线性空间，则 WW 是 VV 的子空间。

验证只须三点：包含零元、加法封闭、数乘封闭。

两类重要子空间：

  • 列空间 Col⁡(A)\operatorname{Col}(A)：矩阵 AA 的列向量张成的子空间
  • 零空间 Null⁡(A)\operatorname{Null}(A)：满足 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的所有 x\mathbf{x} 构成的子空间

维数公式：R(A)+dim⁡(Null⁡(A))=nR(A) + \dim(\operatorname{Null}(A)) = n（nn 为 AA 的列数）

线性变换

定义：VV 到 WW 的映射 TT，满足 T(u+v)=T(u)+T(v)T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) 和 T(kv)=kT(v)T(k\mathbf{v}) = kT(\mathbf{v})。

矩阵表示：在选定基下，任何线性变换对应一个矩阵。改变基，矩阵按 B=P−1APB = P^{-1}AP 变化——这就是相似变换。

核与像

  • 核 ker⁡(T)={v∈V∣T(v)=0}\ker(T) = \{\mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}（即零空间）
  • 像 Im⁡(T)={T(v)∣v∈V}\operatorname{Im}(T) = \{T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V\}（即列空间）

维数公式：dim⁡(ker⁡(T))+dim⁡(Im⁡(T))=dim⁡(V)\dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = \dim(V)

工程应用

  • 控制系统：能控子空间 = 能控性矩阵的像空间；能观子空间 = 能观性矩阵的零空间的正交补
  • Kalman 滤波：状态空间下的线性变换描述系统动力学 xk+1=Fxk+Bukx_{k+1} = F x_k + B u_k
  • 四元数插值：SO(3) 不是线性空间，但切空间（李代数 so(3)\mathfrak{so}(3)）是——SLERP 在切空间做线性插值后指数映射回去

核心公式速查卡

公式 含义
det⁡(abcd)=ad−bc\det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad-bc 二阶行列式 = 平行四边形面积
det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\det(B) 变换组合的体积缩放 = 各自缩放之积
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} 先穿袜子再穿鞋→先脱鞋子再脱袜子
Av=λvA\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} 特征方程：方向不变，只缩放
det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0 特征值求解方程
∑λi=tr⁡(A)\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A)，∏λi=det⁡(A)\prod \lambda_i = \det(A) 迹 = 特征值和，行列式 = 特征值积
P−1AP=ΛP^{-1}AP = \Lambda 对角化：在特征向量基下退化为独立缩放
xTAx\mathbf{x}^T A \mathbf{x} 二次型：协方差椭球、能量函数、惯量椭球
dim⁡(ker⁡T)+dim⁡(Im⁡T)=dim⁡V\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = \dim V 秩-零化度定理

推荐学习路线

  1. 行列式 → 矩阵运算（手算至少 10 个矩阵乘法和逆矩阵）
  2. 高斯消去 → 秩 → 线性方程组（用 Python numpy 辅助验证）
  3. 向量空间 → 基 → 坐标变换（画图理解方向与维度）
  4. 特征值 → 对角化（最难但最重要——反复手算）
  5. 二次型 → 正定性（联系 Hessian、协方差、能量函数来理解）
  6. 线性空间公理 → 核与像（从具体到抽象的最后一步）

推荐资源：

  • Gilbert Strang《Introduction to Linear Algebra》—— 最好的入门教材
  • 3Blue1Brown Essence of Linear Algebra（YouTube）—— 最好的可视化
  • MIT 18.06（Gilbert Strang 授课）—— 最好的视频课程

参考文献

  1. 同济大学数学系 (2014). 线性代数. 第六版. 高等教育出版社.
  2. Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley-Cambridge Press.
  3. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2015). Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson.
  4. Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations. 4th ed. Johns Hopkins University Press.
  5. Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis. 2nd ed. Cambridge University Press.