高等数学（上）· 从极限到微分方程

参考教材：同济大学数学系《高等数学》第七版 上册（第1–7章）。GitHub 配套课本：github.com/goodisok/ChinaTextbook

---

一、极限——微积分的唯一入口

概念直觉

先忘掉 $\varepsilon$-$\delta$。极限的直觉很简单：

一个数列 $x_n$，”最终”稳定在某个值附近，无论多靠近，只要走足够远，就能进到那个范围内。

想象你朝一堵墙走，每一步走剩下距离的一半。你永远碰不到墙——但你离墙的距离趋向于零。这就是极限。

定义（直观版）

数列极限：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n = A$ 当且仅当：对任意小的距离 $\varepsilon>0$，总能找到一个 $N$，使得 $n>N$ 时 $|x_n - A|<\varepsilon$。

函数极限：$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ 当且仅当 $x$ 足够靠近 $a$（但不等于 $a$）时，$f(x)$ 足够靠近 $L$。

注意”不等于 $a$“这个细节——极限是函数在 $a$ 点附近的行为，与 $f(a)$ 本身的值无关。

两个必须记住的重要极限

第一个（三角函数的基础）：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

几何意义：当弧度极小时，$\sin x \approx x$，弦长等于弧长。

第二个（自然常数 $e$ 的来源）：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$

这是复利公式的原型——本金 1 元，年利率 100%，分 $n$ 期复利，$n$ 趋向无穷时的极限。

连续性

函数在某点连续 = 该点的极限等于该点的函数值：

$$\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$$

直观：函数图像在此处没有断开。$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 不连续——图像在那里断成两截。

闭区间上连续的函数有两个重要性质：

• 介值定理：连续函数在两点之间取遍所有中间值。一个房间温度从 20°C 升到 30°C，必然经过 25°C。
• 最值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。

工程应用

• PID 控制：误差信号 $e(t)$ 在 $t\to\infty$ 时是否趋于零？这是控制系统的稳态误差分析——本质就是一个极限问题。
• Kalman 滤波：协方差矩阵 $P_{k|k-1}\to P_{\infty}$ 是否收敛？Riccati 方程解的渐近行为——也是极限。
• 数值方法：迭代格式 $x_{n+1}=g(x_n)$ 是否收敛？Banach 不动点定理依赖极限和连续性。

---

二、导数——瞬间的变化率

概念直觉

一辆车开了 3 小时走了 240 公里，平均速度 80 km/h。但第 1 小时 37 分那一秒的速度是多少？你没法用”总路程÷总时间”算出来。你需要的是一个瞬间的变化率。

这就是导数。

定义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数：

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

分子是函数的增量（变化了多少），分母是自变量的增量（走了多远）。比值是平均变化率，取极限就是瞬时变化率。

几何意义

导数是函数图像在该点的切线斜率。

• $f'(x_0)>0$：图像在上升
• $f'(x_0)<0$：图像在下降
• $f'(x_0)=0$：切线水平（极值候选点）

基本导数表

死记这些就够了：

$f(x)$	$f'(x)$	记忆技巧
$x^n$	$nx^{n-1}$	指数拉下来，减一次
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$	符号变
$e^x$	$e^x$	唯一等于自身的函数
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\tan x$	$\sec^2 x$

四则运算求导法则：

$$\begin{aligned} (f\pm g)' &= f' \pm g' \\ (fg)' &= f'g + fg' \\ \left(\frac{f}{g}\right)' &= \frac{f'g - fg'}{g^2} \end{aligned}$$

链式法则（复合函数求导）：

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

这是深度学习**反向传播（backpropagation）**的数学根基。

高阶导数

导数的导数叫二阶导数 $f''(x)$，物理意义是加速度——速度的变化率。

三阶导数是加速度的变化率，叫加加速度（jerk）。自动驾驶路径规划里要限制 jerk——过大的加加速度会让乘客不舒服。

微分

$$dy = f'(x)\,dx$$

微分是一个线性近似：$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x$。这是我们第一次遇到”把世界变成线性的”——后面会反复出现。

手算例子

求 $f(x)=x^2\sin x$ 的导数。

$$f'(x)=2x\sin x + x^2\cos x$$

（乘积法则：前导后不导 + 前不导后导）

工程应用

• 六自由度运动方程：位置求导 = 速度，速度求导 = 加速度。姿态角求导 = 角速度。
• PID 控制：D 项（微分项）就是误差对时间的导数——“误差变大的趋势”，用来抑制超调。
• 梯度下降：$x_{k+1}=x_k - \alpha\nabla f(x_k)$。每一步都沿着导数的反方向走。

---

三、中值定理与泰勒展开——导数的”武器库”

罗尔定理

一根绳子两端在同一高度，把它弯曲，绳子上至少有一个点切线是平的。

如果 $f(a)=f(b)$ 且 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。

拉格朗日中值定理

一条光滑曲线上，两点之间至少有一点，该点的切线方向等于两点的连线方向。

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\quad \xi\in(a,b)$$

这是连接”函数增量”和”导数”的桥梁——没有它，微分学很多定理都站不住。

洛必达法则

遇到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限，同时对分子分母求导：

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

例子：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$。之前用几何证明的重要极限，洛必达半行搞定。

泰勒公式——这一章的核心

泰勒说：任何足够光滑的函数，都可以在一点附近表示成多项式之和：

$$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n$$

前三项就是：

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$$

这就是对函数的”局部解剖”：

项	信息	物理意义
第 1 项 $f(a)$	函数值	当前位置
第 2 项 $f'(a)(x-a)$	斜率	速度
第 3 项 $\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$	曲率	加速度

手算例子：$\sin x$ 在 $x=0$ 的泰勒展开

$\sin 0=0$，$\sin'(0)=\cos 0=1$，$\sin''(0)=-\sin 0=0$，$\sin'''(0)=-\cos 0=-1$…… $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

只取第一项，$\sin x \approx x$——这就是小角度近似，在 $\pm 0.24$ 弧度（约 14°）内误差小于 1%。

工程应用

• 小角度线性化：无人机姿态控制里，$\sin\phi\approx\phi,\;\cos\phi\approx 1$，把非线性运动方程变线性——这就是泰勒一阶展开。
• EKF 线性化：扩展 Kalman 滤波对非线性系统做一阶泰勒展开，拿 Jacobian 矩阵做传播。
• 牛顿法求根：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，本质是泰勒一阶展开的零点近似。
• ****为什么 PID 的 D 项是 $K_d\dot{e}$？因为预测误差 $e(t+\Delta t)\approx e(t)+\dot{e}(t)\Delta t$——泰勒的一阶线性预测。

---

四、不定积分——微分的逆运算

概念直觉

求导是问：已知位置，速度是多少？
不定积分问反过来的问题：已知速度，位置是多少？

$$F'(x)=f(x) \iff \int f(x)\,dx = F(x) + C$$

那个 $C$（积分常数）很重要——速度一样，位置可以差一个初始偏移。从上海开到北京，和你从北京开到上海，速度一样，位置完全不同。

基本积分表

对照上面的导数表反向：

$f(x)$	$\int f(x)dx$
$x^n\;(n\neq-1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$e^x$	$e^x + C$

两大核心方法

第一换元法（凑微分）：

核心技巧：把复杂的部分”看成”某个函数的导数。

$$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (u=g(x))$$

例子：$\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$，因为 $2x$ 恰好是 $x^2$ 的导数。

分部积分法：

从乘积法则反向推出来的：

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

经典例子：$\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

工程应用

• 运动学：已知加速度 $a(t)$，积分得速度 $v(t) = \int a(t)\,dt$，再积分得位置 $x(t)=\int v(t)\,dt$。
• 信号积分：IMU 的角速度积分出姿态角（积分漂移也是 IMU 最大的坑）。

---

五、定积分——无穷和的极限

概念直觉

怎么算一条曲线 $y=f(x)$ 下面、$x$ 轴上面、$x=a$ 到 $x=b$ 之间的面积？

牛顿之前的数学家做了同一件事：切成 $n$ 个细长条，每个近似当作矩形，加起来：

$$\text{面积}\approx\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x,\quad\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

这种做法就是黎曼和。然后让 $n\to\infty$——这就是定积分。

定义

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x$$ $dx$ 的本意就是"无穷小的 $\Delta x$"。

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

求面积和求原函数是一件事。

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

其中 $F$ 是 $f$ 的任意一个原函数（$F'=f$）。

这是整个微积分里最重要的一个等式。它把**几何（面积）和代数（反导数）**连在了一起。你不需要切几百万个小矩形——直接找原函数，两数相减即可。

几何意义

定积分 = 曲线下的有向面积。$f(x)<0$ 的区域算负面积。

手算例子

算 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 下的面积：

$$\int_{0}^{1}x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$

没有切矩形，没有算极限——直接用了微积分基本定理。

工程应用

• 功：力 $F(x)$ 沿路径做的功 $W = \int_a^b F(x)\,dx$
• 质心：连续体质量分布的重心位置
• 转动惯量：$I = \int r^2\,dm$，四旋翼机体转动惯量计算的核心

---

六、定积分的应用——积分能做什么

平面图形的面积

$$A = \int_{a}^{b} [f_{\text{上}}(x) - f_{\text{下}}(x)]\,dx$$

闭区间上把”上面那条线”减”下面那条线”积分。

旋转体的体积

曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转一圈，体积：

$$V = \pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2\,dx$$

直觉：每个 $x$ 处切一个圆片，半径为 $f(x)$，面积为 $\pi[f(x)]^2$，厚度为 $dx$，积分即是求和。

绕 $y$ 轴旋转用柱壳法：

$$V = 2\pi\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx$$

弧长

曲线 $y=f(x)$ 的长度：

$$s = \int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\;dx$$

勾股定理的升级版——一小段弧长的近似是 $\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} = \sqrt{1+(f')^2}\,dx$。

物理应用

液体侧压力：水下深度 $h$ 处的压强 = $\rho g h$。整面墙的压力 = 压强 × 面积 的积分。

引力：细杆对质点的万有引力——不能直接用公式（距离不是常数），把杆切成小段分别积分。

手算例子：圆锥体积验证

$y=\frac{r}{h}x$（过原点的直线）绕 $x$ 轴旋转，$x$ 从 0 到 $h$： $$V = \pi\int_{0}^{h}\left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

这就是初中就背的圆锥体积公式——证明它只需要定积分。

工程应用

• 重心/惯量：六自由度飞行器建模必须算质心和转动惯量矩阵——全是定积分
• 气动力积分：沿翼展的压力分布积分 = 升力
• 轨迹长度：无人机任务规划里，算路径总长度就是弧长积分

---

七、微分方程——描述世界变化的语言

概念直觉

前面的导数、积分都是已知函数，算它的行为。微分方程反过来：已知函数的”行为规律”，求函数本身。

自然界的大多数规律都是微分方程：

• 冷却定律：温度变化率正比于温差 → $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{环境}})$
• 弹簧振动：加速度正比于位移 → $m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$
• 种群增长：增长率正比于种群数量 → $\frac{dP}{dt} = rP$

一阶微分方程

可分离变量型：

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \;\Rightarrow\; \int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$$

一阶线性型：

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

解法：乘上积分因子 $\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，左边变成 $(y\cdot\mu)'$，直接积分。

二阶常系数线性微分方程

这是工程里最常遇到的：

$$y'' + py' + qy = f(x)$$

齐次通解的求法：设 $y=e^{\lambda x}$，得到特征方程 $\lambda^2+p\lambda+q=0$。

判别式	根情况	通解形式	物理意义
$\Delta>0$	两不等实根	$C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$	过阻尼
$\Delta=0$	重根	$(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$	临界阻尼
$\Delta<0$	共轭复根	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$	欠阻尼振荡

第三个（复根）最重要——它对应振荡衰减：

$$y(t) = e^{\alpha t}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$$

其中 $\alpha$ 控制衰减速度，$\omega$ 是角频率。

手算例子：弹簧-质量-阻尼系统

$$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$$

改写为标准型：$\ddot{x} + \frac{b}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = 0$

设 $p=\frac{b}{m}$，$q=\frac{k}{m}$。特征方程：$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$

解得 $\lambda = -\frac{b}{2m} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2m}\right)^2 - \frac{k}{m}}$

当 $b$ 很小（轻阻尼）：根号内为负 → 复根 → 通解是衰减振荡 $x(t)=Ae^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\phi)$。

这就是你的四旋翼悬停时机体抖动衰减的数学模型。

非齐次方程

右边有东西时（$f(x)\neq 0$），解法：

1. 先求齐次的通解 $y_h$
2. 再猜一个特解 $y_p$（如果 $f(x)$ 是指数/多项式/正余弦，设同型再定系数）
3. 最终解 = $y_h + y_p$

工程应用

• 四旋翼姿态动力学：三个轴各一个二阶 ODE，欧拉角→角速度→角加速度的方程就是这章的内容
• RC 低通滤波：$\tau \dot{y} + y = x(t)$，一阶线性 ODE，解出来是 $y(t)=e^{-t/\tau}\int\cdots$——传感器数据滤波的数学基础
• PN 制导律：比例导引 $\dot{\theta} = N\dot{\lambda}$ 是微分方程，解出来得到弹道
• IMU 姿态传播：$\dot{q} = \frac{1}{2}q\otimes\omega$——四元数姿态传播也是一个微分方程

---

符号读法速查 · 别让符号挡住你

微积分里符号多，先认识它们，再学内容。

希腊字母

大写	小写	英文名	中文读法	常见用途
$\Alpha$	$\alpha$	alpha	阿尔法	角度、衰减系数
$\Beta$	$\beta$	beta	贝塔	角度、阻尼系数
$\Gamma$	$\gamma$	gamma	伽马	角度
$\Delta$	$\delta$	delta	德尔塔	Δ = 增量（Δx = x的变化量）
$\Epsilon$	$\varepsilon$	epsilon	伊普西龙	极限定义里”任意小的正数”
$\Theta$	$\theta$	theta	西塔	角度（最常用）
$\Lambda$	$\lambda$	lambda	兰姆达	特征值、波长
$\Xi$	$\xi$	xi / ksi	克西	中值定理里的”某一点”
$\Pi$	$\pi$	pi	派	圆周率 ≈ 3.14159
$\Sigma$	$\sigma$	sigma	西格玛	求和符号 Σ、标准差 σ
$\Phi$	$\phi,\varphi$	phi	斐	角度、相位
$\Omega$	$\omega$	omega	欧米伽	角频率、角速度

运算符号

符号	读法	含义	例句
$\lim$	limit / 极限	趋向于某个值的极限	$\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ 读作「limit x 趋于 0，f(x)」
$\to$	趋于 / 趋向于 / approaches	无限接近	$x \to \infty$ 读作「x 趋于无穷」
$\infty$	无穷 / 无穷大 / infinity	无限大
$\Delta$	Delta / 增量	变化量	$\Delta x = x_2 - x_1$
$\sum$	Sigma / 求和	连加	$\sum_{i=1}^n x_i$ 读作「i从1到n，x_i的和」
$\int$	积分 / integral	积分	$\int_a^b f(x)dx$ 读作「从a到b，f(x)的积分」
$\prod$	Pi / 连乘	连乘	$\prod_{i=1}^n x_i$ 读作「i从1到n，x_i的乘积」
$d/dx$	d y d x / 对x求导	导数运算符	$\frac{d}{dx}f(x)$ 读作「d d x，f(x)」或「f对x求导」
$\partial$	partial / 偏	偏导数	$\frac{\partial f}{\partial x}$ 读作「partial f partial x」
$\nabla$	nabla / 梯度	梯度算子	$\nabla f$ 读作「nabla f」或「f的梯度」

函数与记号

符号	读法	含义	例句
$f(x)$	f of x / f x	以x为自变量的函数	「f of x」或直接「f x」
$f'(x)$	f prime of x / f 一撇	一阶导数	「f prime x」或「f一撇x」
$f''(x)$	f double prime / f 两撇	二阶导数	「f double prime」或「f两撇」
$f^{(n)}(x)$	f n-th derivative / f n阶导	n阶导数
$\dot{x}$	x dot / x 点	对时间的一阶导（物理）	$\dot{x} = dx/dt$
$\ddot{x}$	x double dot / x 两点	对时间的二阶导（加速度）	$\ddot{x} = d^2x/dt^2$
$\lvert x\rvert$	绝对值 x / abs x	x的绝对值
$n!$	n 阶乘 / n factorial	n的阶乘	$5! = 1\times2\times3\times4\times5 = 120$
$e$	e / 自然常数	欧拉数 ≈ 2.71828
$\ln x$	log x / 自然对数 / ln x	以e为底的对数	有些教材叫「log x」
$\approx$	约等于 / approximately	近似相等	$\pi \approx 3.14$
$\propto$	正比于 / proportional to	成正比	$F \propto a$ 读作「F正比于a」

实战例句

看书时遇到公式就这样读给自己听：

看到的	读出来
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$	「limit x趋于0，sin x 除以 x，等于1」
$\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$	「从0到1，x平方的积分，等于三分之一」
$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$	「i从1到n的和，等于二分之n乘n加1」
$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$	「f一撇x零，等于limit Δx趋于0，f x零加Δx 减 f x零，除以 Δx」
$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$	「m x两点 加 b x点 加 k x，等于零」

最重要的一条：没有人第一次就认识所有符号。遇到不会读的，把公式抄下来，指着它读三遍，它就认识你了。

---

八、高等数学（上）知识地图

极限 ──┬──→ 导数 ──→ 中值定理 / 泰勒展开
       │       │
       │       └──→ 不定积分（微分的逆）
       │                │
       └──→ 黎曼和 ──→ 定积分 ←──→ 微积分基本定理
                        │
                        ├──→ 面积/体积/弧长
                        ├──→ 功/质心/转动惯量
                        └──→ 微分方程（导数+积分的联合作战）

这张图的每一条连线——极限到导数、导数到积分、积分到微分方程——都是你的六自由度仿真系统的数学地基。

---

核心论文与技术参考

1. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning. — 英文经典微积分教材，习题量和物理应用远超同济
2. 同济大学数学系 (2014). 高等数学（第七版）. 高等教育出版社. — 国内工科标准教材
3. Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. — 本书的第二章把所有微积分用到了刚体运动学上