本文是 John D. Anderson《Fundamentals of Aerodynamics》（第六版）读书笔记系列的第八篇，覆盖教材第9章《可压缩流基础》。这是全书从低速空气动力学走向高速空气动力学的转折点。

第八篇：可压缩流基础——从亚声速到超声速的入口

一、为什么可压缩性在 Ma > 0.3 时必须考虑？

1.1 概念引入

密度的相对变化 $\Delta \rho / \rho \propto Ma^2$ 。当 $Ma = 0.3$ 时，密度变化约 4.5%，这已经是工程上可接受的近似误差上限。

一旦进入 $Ma > 0.3$ 的区域，以下现象开始出现：

伯努利方程失效（因为它假设 $\rho = \text{const}$ ）
温度开始显著变化
激波——流动中的一种不连续面——出现
阻力出现一个新的分量：波阻

1.2 热力学基础

可压缩流需要引入热力学语言。Anderson 第9章从四个基本热力学参数开始：

\text{内能 } e, \quad \text{焓 } h = e + \frac{p}{\rho}, \quad \text{熵 } s, \quad \text{比热比 } \gamma = \frac{c_p}{c_v}

对于空气， $\gamma = 1.4$ （常温常压下）。

声速的推导：

a = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s} = \sqrt{\gamma R T}

在海平面： $a = \sqrt{1.4 \times 287 \times 288.15} \approx 340\ \text{m/s}$ 。

二、等熵关系——可压缩流的”伯努利方程”

2.1 等熵流动的条件

等熵（Isentropic）：可逆且绝热。

可逆：无摩擦、无黏性耗散
绝热：无热交换

等熵条件适用于：

无黏流动的连续区域（边界层以外的势流区域）
通过正激波之前的流动
通过拉瓦尔喷管收敛段的流动

不适用于：

通过激波（熵增大）
边界层内部（摩擦耗散）
强热交换的流动

2.2 等熵关系式

对于等熵过程，压力和密度的关系：

\frac{p}{\rho^\gamma} = \text{const}

将此关系与能量方程结合，得到用马赫数表示的等熵关系：

\frac{p_0}{p} = \left(1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}

\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2

\frac{\rho_0}{\rho} = \left(1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}

其中下标 0 表示驻点条件（stagnation condition）——流体等熵减速到 $Ma=0$ 时的状态。

2.3 手算例子

一架飞机在 $Ma = 0.8$ 飞行，环境温度 $T = 260\ \text{K}$ （约 -13°C）。

求驻点温度。

解：

\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2 = 1 + \frac{0.4}{2} \times 0.64 = 1 + 0.2 \times 0.64 = 1.128

T_0 = 260 \times 1.128 = 293.3\ \text{K} \ (\text{约 } 20^\circ \text{C})

物理意义：机翼前缘驻点的温度比环境温度高出约 33°C。这个温差在 $Ma > 2$ 时会变得非常显著——你知道协和号客机的机头在 $Ma = 2.0$ 飞行时表面温度有多高吗？超过 100°C！这就是为什么超声速飞机需要使用特殊的铝合金或钛合金。

三、正激波——流动的”墙”

3.1 概念引入

Sitting in a supersonic aircraft, you can’t hear the engine noise from the front——为什么？因为声音以声速传播，而飞机比声音快。结果就是，飞机前方的气流无论何时都处于”未受扰动”的状态。当这个未受扰动的气流与飞机相遇时，在飞机前面形成了一道薄薄的”壁”——这就是正激波。

3.2 正激波关系式

正激波的基本关系式（Rankine-Hugoniot 关系），从质量守恒、动量守恒和能量守恒推导而来。

马赫数关系：

Ma_2^2 = \frac{(\gamma-1)Ma_1^2 + 2}{2\gamma Ma_1^2 - (\gamma-1)}

压力比：

\frac{p_2}{p_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}(Ma_1^2 - 1)

密度比：

\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma+1)Ma_1^2}{(\gamma-1)Ma_1^2 + 2}

温度比：

\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} \frac{\rho_1}{\rho_2}

其中下标 1 表示激波上游（波前），下标 2 表示激波下游（波后）。

3.3 正激波的物理特性

参数	变化	物理直觉
马赫数 $Ma$	$Ma_2 < 1$ （波后亚声速）	激波强制减速到亚声速
压力 $p$	增大（可达 2-20 倍）	压缩
密度 $\rho$	增大（最多约 6 倍）	密度的极限： $\rho_2/\rho_1 \to (\gamma+1)/(\gamma-1)$
温度 $T$	增大	绝热压缩
熵 $s$	增大	这是不可逆过程（激波耗散）

3.4 手算例子

以 $Ma_1 = 2.0$ 的正激波为例：

解：

Ma_2^2 = \frac{0.4 \times 4 + 2}{2 \times 1.4 \times 4 - 0.4} = \frac{1.6 + 2}{11.2 - 0.4} = \frac{3.6}{10.8} = 0.333

Ma_2 = 0.577

\frac{p_2}{p_1} = 1 + \frac{2.8}{2.4}(4-1) = 1 + 1.167 \times 3 = 4.5

\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{2.4 \times 4}{0.4 \times 4 + 2} = \frac{9.6}{1.6+2} = \frac{9.6}{3.6} = 2.67

\frac{T_2}{T_1} = \frac{4.5}{2.67} = 1.686

物理结论：通过 $Ma = 2.0$ 的正激波，压力增大 4.5 倍，密度增大 2.67 倍，温度升高 68.6%，且波后马赫数降到 0.577（亚声速）。这个巨大的压力跃升就是”声爆”的起因。

四、拉瓦尔喷管——从亚声速到超声速的路径

4.1 概念

如果将一个流管先收窄再扩张，当上游总压足够高时，气流在喉部达到 $Ma=1$ ，然后在扩张段加速到超声速。这就是拉瓦尔喷管，也称收敛-扩张喷管。

4.2 面积-马赫数关系

拉瓦尔喷管的核心公式。对等熵流动：

\left(\frac{A}{A^*}\right)^2 = \frac{1}{Ma^2}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1 + \frac{\gamma-1}{2} Ma^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}

其中 $A^*$ 是喉部面积（ $Ma=1$ 处）。

4.3 公式特性

对于每个 $Ma \neq 1$ ， $A/A^*$ 有两个解——一个亚声速，一个超声速
喉部 $A = A^*$ 时， $Ma = 1$
亚声速分支： $Ma$ 增大， $A$ 减小
超声速分支： $Ma$ 增大， $A$ 增大

4.4 应用

拉瓦尔喷管的应用无处不在：

火箭喷管（从燃烧室压力到超声速排气）
风洞的超声速段
喷气发动机的尾喷管
天燃气管道中的文丘里管

五、完整概念地图

低速空气动力学 (Ma < 0.3)
└── ρ = const → 伯努利方程

     Ma ↑

可压缩流 (Ma > 0.3)
├── 热力学基础 (e, h, s, γ)
├── 等熵关系
│   ├── p0/p = f(Ma)
│   ├── T0/T = f(Ma)
│   └── ρ0/ρ = f(Ma)
├── 正激波
│   ├── 波前超声速 (Ma₁ > 1)
│   ├── 波后亚声速 (Ma₂ < 1)
│   ├── {p, ρ, T} 阶跃增大
│   └── 熵增大 (不可逆)
├── 拉瓦尔喷管
│   ├── 收敛段 → Ma < 1
│   ├── 喉部 → Ma = 1
│   ├── 扩张段 → Ma > 1
│   └── A/A* = f(Ma) 关系
└── [预告: 斜激波 + 膨胀波]

六、核心公式速查卡

公式	含义	适用条件
$a = \sqrt{\gamma R T}$	声速	理想气体
$p_0/p = (1 + \frac{\gamma-1}{2} Ma^2)^{\gamma/(\gamma-1)}$	等熵压力比	等熵流动
$T_0/T = 1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2$	等熵温度比	等熵流动
$Ma_2^2 = \frac{(\gamma-1)Ma_1^2+2}{2\gamma Ma_1^2-(\gamma-1)}$	正激波波后马赫数	正激波
$p_2/p_1 = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}(Ma_1^2-1)$	正激波压力比	正激波
$A/A^* = f(Ma)$	面积-马赫数关系	拉瓦尔喷管

参考文献

Anderson, J. D. (2010). Fundamentals of Aerodynamics (6th ed., Chapter 9). McGraw-Hill.
Liepmann, H. W., & Roshko, A. (1957). Elements of Gasdynamics. Dover Publications.
Shapiro, A. H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow (Vols. 1-2). Ronald Press.
Rankine, W. J. M. (1870). “On the Thermodynamic Theory of Waves of Finite Longitudinal Disturbance”. Philosophical Transactions of the Royal Society, 160, 277-288.
Hugoniot, H. (1889). “Sur la propagation du mouvement dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits”. Journal de l’École Polytechnique, 58, 1-125.

下一节：超声速线化理论

斜激波、锥型流、普朗特-迈耶膨胀波——超声速流动的完整数学体系，以及为什么超声速和亚声速的机翼设计哲学完全不同。