六旋翼构型、控制分配与故障容错：从数学模型到飞行汽车应用

一、为什么需要六旋翼

四旋翼无人机是最常见的多旋翼构型，但它有一个致命缺陷：任何单个电机或螺旋桨失效，飞行器必然失控坠毁。 这不是工程优化问题，而是数学约束问题。

一个四旋翼有 4 个独立旋翼，产生 4 个控制输入（推力 $f_1, f_2, f_3, f_4$），而刚体飞行器在三维空间中有 6 个自由度（位置 $x, y, z$ 和姿态 $\phi, \theta, \psi$）。但由于多旋翼的欠驱动特性，4 个旋翼实际可控的自由度只有 4 个（通常为总推力 + 三个力矩），恰好满足悬停和基本机动的必要条件。

四旋翼一旦失去一个电机，控制输入数降到 3，无法独立控制三个力矩轴——飞行器必然失控。这是 Freddi 等[1]严格证明过的结论。

六旋翼有 6 个独立旋翼，产生 6 个控制输入，而悬停和姿态控制只需 4 个虚拟控制量（$u_1$ 总推力，$u_2, u_3, u_4$ 三轴力矩）。多余的两个自由度就是容错空间——即使某个旋翼完全失效，剩余 5 个旋翼仍可通过控制重分配维持全姿态可控[2]。

这个”多余的自由度”的学名叫控制冗余（Control Redundancy），是多旋翼容错设计的核心。下表给出不同构型的冗余度：

构型	旋翼数	最小控制需求量	冗余自由度	可容忍失效数
四旋翼	4	4（推力+3力矩）	0	0
六旋翼	6	4	2	1~2
八旋翼	8	4	4	2~3
十二旋翼	12	4	8	3+

冗余自由度 > 0 是容错的必要条件，但不是充分条件——还需要失效后剩余旋翼的可达力矩集（Attainable Moment Set, AMS）能覆盖所需力矩方向。

二、六旋翼构型拓扑学

六旋翼有三种主流构型，每种构型的容错能力和飞行效率完全不同。

2.1 平面六旋翼（Flat Hex / “X6”）

最常见构型。6 个旋翼均匀分布在半径为 $L$ 的圆周上，相邻夹角 60°。

旋翼方位角（以机头方向为 0°）：

$$\alpha_i = \frac{\pi}{3} \cdot i, \quad i = 0, 1, \dots, 5$$

半交替转向：$i = 0, 2, 4$ 逆时针旋转（CCW），$i = 1, 3, 5$ 顺时针旋转（CW）。

混合矩阵（Mixer Matrix）将 6 个旋翼推力映射为 4 个虚拟控制量：

$$\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_T & c_T & c_T & c_T & c_T & c_T \\ c_T L\sin\alpha_0 & c_T L\sin\alpha_1 & \cdots & \cdots & \cdots & c_T L\sin\alpha_5 \\ -c_T L\cos\alpha_0 & -c_T L\cos\alpha_1 & \cdots & \cdots & \cdots & -c_T L\cos\alpha_5 \\ (-1)^{0}c_Q & (-1)^{1}c_Q & \cdots & \cdots & \cdots & (-1)^{5}c_Q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_1^2 \\ \omega_2^2 \\ \vdots \\ \omega_6^2 \end{bmatrix}$$

其中 $c_T$ 为推力系数，$c_Q$ 为扭矩系数，$L$ 为力臂长度，$\omega_i$ 为第 $i$ 个旋翼的角速度。

平面六旋翼的优点是构型简单、力矩效率高；缺点是旋翼之间气动干扰较大，失效后的可达力矩集在某些方向存在”缺口”。

2.2 共轴六旋翼（Coaxial Hex / “Y6”）

三组共轴对称旋翼，每组上下一对正反转电机，构成 Y 形布局。相邻支臂夹角 120°。

核心优势：

• 桨盘总面积仅是平面六旋翼的 50%（三个支臂 vs 六个支臂），适合空间受限场景
• 单支臂失效时，力矩扰动比平面构型小——上下旋翼可以独立补偿
• 悬停效率在无干扰条件下低于平面构型（上下旋翼间的流场耦合损失约 5-15%[3]）

混合矩阵差异：每个支臂的上/下旋翼推力可以不同，混合矩阵中需要考虑共轴对力矩臂的不同贡献。上旋翼产生正力矩臂，下旋翼在重心以下时产生负力矩臂。

2.3 Y 型六旋翼（Y-Shape Hex）

六个旋翼排列成 Y 形（不是共轴，而是同一平面上排列成字母 Y）。两个旋翼在机头，两侧各两个。

Y 型构型的最大问题是非对称布局导致俯仰和滚转力矩耦合更复杂。实际上平面六旋翼是受力最均匀、力矩解算最简洁的构型，因此绝大多数商用的 6 轴无人机（DJI S900/S1000、Yuneec H520 等）都采用平面六旋翼。

三、六旋翼刚体动力学

3.1 坐标系定义

• 世界坐标系 $\mathcal{W}$：北-东-地（NED）框架
• 机体坐标系 $\mathcal{B}$：原点在重心，$x$ 轴朝机头，$z$ 轴朝下

旋转矩阵 $R_{\mathcal{B}}^{\mathcal{W}} \in SO(3)$ 将机体坐标转换到世界坐标。

3.2 牛顿-欧拉方程

平动方程（世界坐标系）：

$$m \ddot{\mathbf{p}} = m \mathbf{g} + R_{\mathcal{B}}^{\mathcal{W}} \sum_{i=1}^{6} \mathbf{F}_i$$

其中 $\mathbf{F}_i = [0, 0, -c_T \omega_i^2]^\top$ 为第 $i$ 个旋翼在机体坐标系下的推力向量。

转动方程（机体坐标系）：

$$\mathbf{J} \dot{\boldsymbol{\omega}} = -\boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{J} \boldsymbol{\omega}) + \boldsymbol{\tau}$$

其中 $\mathbf{J} = \operatorname{diag}(J_x, J_y, J_z)$ 为惯量张量（通常忽略非对角线项），$\boldsymbol{\omega} = [p, q, r]^\top$ 为机体角速度，$\boldsymbol{\tau} = [\tau_x, \tau_y, \tau_z]^\top$ 为三轴力矩。

3.3 旋翼产生的力和力矩

6 个旋翼产生的总推力：

$$F_{\text{total}} = c_T \sum_{i=1}^{6} \omega_i^2$$

滚转力矩（$x$ 轴）：

$$\tau_x = c_T L \sum_{i=1}^{6} (\sin \alpha_i) \cdot \omega_i^2$$

俯仰力矩（$y$ 轴）：

$$\tau_y = -c_T L \sum_{i=1}^{6} (\cos \alpha_i) \cdot \omega_i^2$$

偏航力矩（$z$ 轴，由旋翼的反扭矩产生）：

$$\tau_z = c_Q \sum_{i=1}^{6} (-1)^i \cdot \omega_i^2$$

六旋翼构型中，$(-1)^i$ 项使相邻旋翼反扭矩自然抵消——所有旋翼转速相同时总偏航力矩为零。

四、控制分配

控制分配（Control Allocation）是多旋翼控制系统中最核心但最容易被忽视的环节。它负责将高层控制器输出的虚拟控制量（总推力 + 三轴力矩）转换为各旋翼的转速指令。

4.1 问题定义

给定虚拟控制向量 $\mathbf{u}_d = [u_1, u_2, u_3, u_4]^\top$（目标推力、滚转力矩、俯仰力矩、偏航力矩），求解旋翼转速平方向量 $\boldsymbol{\Omega} = [\omega_1^2, \omega_2^2, \dots, \omega_6^2]^\top$，使得：

$$\mathbf{B} \boldsymbol{\Omega} = \mathbf{u}_d$$

其中 $\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{4 \times 6}$ 是六旋翼的控制效率矩阵（前述混合矩阵的 4×6 形式）。

这是一个欠定方程组：4 个方程、6 个未知数，有无穷多解。控制分配的任务就是从无穷多解中选出一个满足约束的最优解。

4.2 伪逆法（Moore-Penrose Pseudoinverse）

最小二范数解：

$$\boldsymbol{\Omega}^* = \mathbf{B}^\dagger \mathbf{u}_d = \mathbf{B}^\top (\mathbf{B} \mathbf{B}^\top)^{-1} \mathbf{u}_d$$

其中 $\mathbf{B}^\dagger$ 是 $\mathbf{B}$ 的 Moore-Penrose 伪逆。

伪逆法给出的是能耗最小解（最小化 $\lVert\boldsymbol{\Omega}\rVert_2^2$），但存在两个严重缺陷：

1. 无约束处理能力：无法限制各旋翼转速在 $[\omega_{\min}^2, \omega_{\max}^2]$ 范围内
2. 无故障感知：某个旋翼失效时，伪逆法仍会给失效旋翼分配指令，导致实际力矩偏差

4.3 约束优化法（Constrained Optimization）

标准形式：

$$\begin{aligned} \min_{\boldsymbol{\Omega}} \quad & \lVert \mathbf{B} \boldsymbol{\Omega} - \mathbf{u}_d \rVert_2^2 \\ \text{s.t.} \quad & \omega_{\min}^2 \leq \Omega_i \leq \omega_{\max}^2, \quad i = 1, \dots, 6 \end{aligned}$$

当某个旋翼 $j$ 失效时，增加约束 $\Omega_j = 0$，优化器自动将负载分配给其他旋翼。这是故障容错控制分配的数学基础。

由于目标函数是二次的、约束是线性的，这是典型的带约束二次规划（QP），可以高效求解。实际飞控中通常使用加权最小二乘（WLS）或活动集法（Active Set Method）的优化形式，计算时延在微秒级，适合实时控制[4]。

4.4 直接分配法（Direct Allocation）

对于失效场景，可以在 $4 \times 5$ 的降维矩阵上直接求伪逆：

• 失效旋翼的混合矩阵列零化
• 对 $4 \times 5$ 子矩阵求伪逆
• 检查解是否在转速范围内

这个方法计算更快，但无法处理”部分失效”（如旋翼转速被限制但未完全停转）。

五、故障容错控制

5.1 故障检测

旋翼失效的检测本质上是通过力矩残差实现的。定义期望力矩与实际力矩的残差：

$$\mathbf{e}_\tau = \mathbf{u}_d - \mathbf{B} \hat{\boldsymbol{\Omega}}$$

其中 $\hat{\boldsymbol{\Omega}}$ 是从实际电机转速测量值导出的转速平方估计。

当残差的范数 $\lVert \mathbf{e}_\tau \rVert_2$ 超过阈值 $T_{\text{fail}}$ 时，触发故障检测：

$$\text{Fault Detected} \iff \lVert \mathbf{e}_\tau \rVert_2 > T_{\text{fail}}$$

检测延迟通常在 20-50 ms 以内，足以在旋翼完全失效前开始重分配[2]。

5.2 控制重分配

检测到故障后，重分配流程：

1. 隔离故障旋翼：将 $\mathbf{B}$ 的第 $j$ 列置零（$j$ 是失效旋翼编号）
2. 构造降维矩阵：$\mathbf{B}_{\text{fault}} \in \mathbb{R}^{4 \times 5}$
3. 求解约束 QP：在 $5$ 个健康旋翼上重新分配控制量
4. 在线更新混合矩阵：飞控 PX4/ArduPilot 中通过参数切换实现

在 PX4 飞控中，控制分配矩阵定义在 mixer_multirotor 模块中，每个构型有独立的 .mix 文件。故障切换通过监控转速残差自动触发备用混合矩阵。

5.3 可达力矩集（Attainable Moment Set, AMS）

可达力矩集是衡量失效后可控性的关键概念。定义为在转速约束下健康旋翼能产生的所有可能的三轴力矩集合：

$$\mathcal{M} = \left\{ \boldsymbol{\tau} \in \mathbb{R}^3 : \boldsymbol{\tau} = \mathbf{B}_\tau \boldsymbol{\Omega}, \; \omega_{\min}^2 \leq \Omega_i \leq \omega_{\max}^2 \right\}$$

其中 $\mathbf{B}_\tau \in \mathbb{R}^{3 \times n}$ 是力矩子矩阵（去掉推力行）。

AMS 在几何上是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个凸多面体。失效后剩余旋翼的 AMS 必须包含原点的一个邻域（即全向可产生任意方向的力矩），飞行器才能保持姿态可控。

关键工程事实：平面六旋翼失去一个旋翼后，AMS 在偏航方向通常最大受限。因为偏航力矩依赖于正反旋翼的转速差——少了一个旋翼后，反转力矩的不平衡需要用滚转/俯仰力矩来补偿，导致偏航可控范围缩小 40-60%[5]。

六、在飞行汽车中的应用

六旋翼构型在 eVTOL 和飞行汽车领域有大量实际部署。

小鹏汇天陆地航母

六旋翼+双涵道构型。6 个独立旋翼分布在机翼上方，冗余度高。单旋翼失效仍可维持受控飞行——这是取得适航认证的工程基础。六旋翼架构配合 6×6 地面增程母舰，形成”分体式”交通方案。

亿航 EH216-S

采用共轴八旋翼（8 轴 16 桨），但电机失效逻辑与六旋翼一致——每个电机独立控制，失效后由健康电机接管。EH216-S 已取得中国民航局型号合格证（TC），冗余控制分配算法通过了 10,000+ 次故障注入测试。

Joby S4

六旋翼倾转旋翼构型。悬停阶段为纯六旋翼控制、巡航阶段转为固定翼+倾转旋翼联合控制。六旋翼失效容错覆盖了悬停→过渡→巡航的全部飞行阶段。

控制分配的工程现实

在飞行汽车中，控制分配面临的约束比消费级无人机更复杂：

• 热约束：失效后健康电机的功率负载可能翻倍，需限制最大持续推力以保护电机
• 振动约束：转速不平衡增大时，机体振动可能接近结构共振频率
• 能耗约束：剩余航程取决于重分配后的系统效率

商业飞行汽车厂家（小鹏、亿航、Joby）的实际实现细节属于飞行安全敏感信息，公开文献极少。但核心数学框架——约束 QP 控制分配 + AMS 分析——是统一的。

七、核心论文

论文	主题	出处
Freddi et al. (2012)	四旋翼执行器故障诊断与控制	IEEE Trans. Control Syst. Technol., 20(5), 1200–1209. DOI:10.1109/TCST.2011.2161792
Du et al. (2015)	六旋翼故障容错控制分配	J. Intell. Robot. Syst., 78(1), 95–114. DOI:10.1007/s10846-014-0063-4
Schneider et al. (2016)	多旋翼容错控制分配——Pseudo-Inverse Redistribution	IEEE Trans. Robot., 32(3), 730–745. DOI:10.1109/TRO.2016.2544036
Faessler et al. (2017)	推力混合与姿态控制——四旋翼饱和处理	IEEE Robot. Autom. Lett., 2(2), 995–1002. DOI:10.1109/LRA.2017.2656822
Stepanyan et al. (2017)	六旋翼自适应故障容错控制	AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. DOI:10.2514/6.2017-1251
Mueller & D’Andrea (2014)	多旋翼松弛悬停解与容错	IEEE Trans. Robot., 30(4), 873–885. DOI:10.1109/TRO.2014.2307502

参考文献

1. Freddi, A., Lanzon, A., & Longhi, S. (2012). A feedback linearization approach to fault tolerance in quadrotor vehicles. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 20(5), 1200–1209.
2. Du, G. X., Quan, Q., Yang, B., & Cai, K. Y. (2015). Controllability analysis for multirotor helicopter rotor degradation and failure. Journal of Intelligent & Robotic Systems, 78(1), 95–114.
3. Bohorquez, F., Pines, D., & Samuel, P. D. (2003). Small-scale rotor design and performance for hover-capable micro air vehicles. Journal of Aircraft, 40(4), 690–699.
4. Johansen, T. A., & Fossen, T. I. (2013). Control allocation — A survey. Automatica, 49(5), 1087–1103.
5. Schneider, T., Ducard, G., Rudin, K., & Strupler, P. (2016). Fault-tolerant control allocation for multirotor helicopters. IEEE Transactions on Robotics, 32(3), 730–745.